多目标优化—概念与常用模型

一、多目标优化的概念

        单目标优化的情况下，只有一个目标，任何两解都可以依据单一目标比较其好坏，可以得出没有争议的最优解。

        多目标化与传统的单目标优化相对。多目标优化的概念是在某个情景中在需要达到多个目标时，由于容易存在目标间的内在冲突，一个目标的优化是以其他目标劣化为代价，因此很难出现唯一最优解，取而代之的是在他们中间做出协调和折衷处理，使总体的目标尽可能的达到最优。

        在这个情况下，一般可以把多目标优化问题写成以下数学模型：

        没有转化为单目标问题的帕累托模型：优化的结果是帕累托前沿上 （Pareto Front）取得一个最优解的集合，并选择所需要的解来优化资源配置。由于大部分社会行动都存在一系列不同的目标，多目标优化的思路目前广泛应用在工程设计，基因工程，互联网推送等等领域。

二、常用模型

1、线性加权法

        线性加权法是多目标优化中使用比较广泛的方法，根据的重要程度，设定权重进行线性加权，将多个目标表示成：

        从而转换为单目标的优化问题。

        线性加权模型，其优点在于实现简单，仅用缩放后的值来代表原目标，求解也相对比较容易。其缺陷在于刻画目标和解不够精细，例如响应时间和开销，这两个目标的单位分别是时间和金钱，用先缩放再加权的方法把它们直接相加，对原始目标的信息有一定的丢失和遗漏。 另外，缩放过程需要提前知道目标的信息，如最大值、最小值或者平均值，而这些信息往往很难确定。而制定权重过程需要依据的用户、供应商对不同目标的偏好程度也很难提前获知。即使在已了解偏好程度的情况下，如何准确地制定权重仍然是棘手的问题。例如，将响应时间的权重设为0.2还是0.21，对于用户来说可能没有大的区别，但是对最优解有不可忽略的影响。因此，采用线性加权模型虽然简便，但解的优劣程度难以保证。

2、主要目标法 

        除了上面介绍的线性加权法，主要目标法（也称-约束方法）， 是一个应用广泛的算法。

        -约束方法从K个目标中选择最重要的子目标作为优化目标，其余的子目标作为约束条件。每个子目标，通过上界来约束，设上述约束条件得到的可行域为。将原多目标优化问题转换成单目标优化问题，之后即可用单目标优化的方法来求解该问题。

        一般情况下，界限值可以取子目标函数的上界值：

        其优点是简单易行，保证在其他子目标取值允许的条件下，求出主要目标尽可能好的目标值。缺点是如果给的不合适的话，新的可行域可能为空集。

 3、逼近目标法

        逼近目标法是让决策者提出一个目标值，使得每个目标函数都尽可能的逼近对应的目标值：

        逼近目标法和机器学习中的损失函数类似，是一个单目标优化问题，可以通过经典的方法进行求解。这里求解的最优解和有效解及弱有效解没有直接的联系，逼近目标法反映了决策者希望的目标值。 

4、帕累托最优

        帕累托(Pareto)是多目标优化中经典的模型,并且它完全基于原始数据，没有将问题转化成单 目标问题分析。帕累托模型由于不需要对目标进行缩放和归一化，也不需要设定或者引入新的参数、变量(如权重、界限值)，直接基于原始目标函数和值进行操作，可以适用于任何目标、任何函数。它不会丢失目标函数和解的信息，解的优劣可以较好保证。但帕累托模型的最优解是一个集合，其中包含不止一个最优解，因此要穷尽并求出所有的帕累托最优解有一定的难度。