今年，2022 年是 唐纳德·高德纳开始写作计算机编程的艺术的 60 周年。今年85岁的高德纳几乎已经成为计算机编程界的传奇人物——他仍在为他对算法的大规模分析撰写书籍。
但每年，就在圣诞节前后，都有一个传统。高德纳为斯坦福大学的一小部分观众（高德纳是名誉教授）和更多的在线观众举办了一场“面向非专业人士”的特别讲座。
树的魔力
高德纳弯腰在记事本（投射到他身后的屏幕上）上，开始了第26届年度圣诞节讲座，指出当晚的话题已经隐藏了二十年。在最初的20年里，他们称之为“圣诞树”讲座，因为“树对计算机科学家来说是最重要的东西之一。每年我都会至少学到两件关于树木的新东西......”
大约五年前，他们把名字改成了“圣诞讲座”——但问题不在于树木不再有趣。“我仍然每年都会学到关于树木的很酷的东西。但是他们越来越难向普通观众解释！
因此，今年胜利的“回家”讲座确实包括树木 - 特别是高德纳描述为“双子树”的现象，以及Baxter排列和平面图。高德纳指出，这些都是最新一卷《计算机编程的艺术》中涉及的主题，然后开玩笑地提醒观众，他的书是一个很好的圣诞礼物。
他笑着补充说：“从讲师的角度来看，当你有你喜欢谈论的事情时，总是最好的。
唐纳德首先向观众介绍了二叉树——一种熟悉的分支数据结构，当你向下工作时，每个节点最多可以有两个较低的节点（一个左节点和一个右节点）。但随后他向观众展示了“50 多年来我最喜欢的算法之一......二叉树插入。如果数据低于键值，则数据插入左分叉，如果数据较高，则插入右分叉。
为了生成一个真正的随机序列，他会让观众大声喊出数字应该出现在八个数字序列中的位置——然后将这些混乱变成他记事本上的一棵整洁的二叉树。
但是，然后以相反的顺序浏览这些相同的数字，高德纳神奇地产生了一个互补的第二个二叉树 - 当你将每个父节点的子节点（对于两棵树）写到一个图表上时，它没有重叠。
高德纳用红色墨水来写一棵树的子节点，然后用绿色墨水写下另一棵树的子节点来演示这一点：
高德纳分享了一个令人惊讶的计算结果，即有超过10，000棵八节点双树。“这种树插入算法是我从1960年代中期开始就一直在玩的东西，”高德纳告诉惊讶的观众，“我已经在无数的计算机程序中使用它。
“但我从来没有——我花了50年的时间才明白，它也同时给了我双树！”
小和大
下一个数学古玩是Baxter排列，这是一种数字序列，高德纳为它提供了一个漂亮的简单定义。如果任何固定数k和K + 1上面的数字是“大”，而它们下面的数字是“小”，那么在Baxter排列中，“我不能有一个大后跟一个小。（反之亦然。如果在序列中 k 前面有较大的 k + 1，那么“我不能有一个小的后跟一个大。
高德纳提供了一个例子——但随后玩弄了后果。
颠倒数字的顺序总是会产生另一种Baxter排列。您还可以通过向序列中的每个数字添加一个常量来生成另一个 Baxter 排列。如果该常量等于或大于序列的最高数字，则可以通过将序列附加到原始序列上来生成更长的Baxter排列。（甚至可以在该序列之前挂起。
所有这些场景都保留了巴克斯特序列的原始独特属性，高德纳向观众重申。无论您选择哪对数字来分隔一对进行测试，“所有的小家伙都会先来，大人物在后。
高德纳提出了尽可能小的非巴克斯特排列——3、1、4、2。他称之为“圆周率突变”，因为它是圆周率到四位数的四舍五入近似值。
多年来，高德纳发现，在测试关于排列的猜想时，“如果猜想是假的，它几乎总是在pi突变时失败。序列的反面也不是Baxter排列 - 只有两个这样的失败序列（在24个可能的序列中）。
三种漂亮的算法
当晚的最后一个主题是平面图——将一个看起来很熟悉的矩形分解（或“分解”）成更小的子矩形。（或者，这是一个平面图，进入“房间”。顺便说一句，Knuth指出，在创建硅芯片时，这种建模变得很重要 - “房间”成为模块或逻辑门。
然后他问了一个挑衅性的问题：两个平面图相同意味着什么？
高德纳在他的 X 轴和 Y 轴上重新排列了他的坐标名称的顺序，然后绘制了另一个平面图，其中矩形彼此保持相同的位置。（“我不妨把整个事情写下来，因为这是在互联网上发生的，”高德纳一度开玩笑说。
这个特殊的平面图遵循榻榻米条件——没有四个不同矩形在一个点相遇的“四个角”点。高德纳展示了绘制平面图的替代方法——这使他进入了他的大结局。“这和双子树和巴克斯特排列有什么关系？”
令人惊讶的是，当使用最后的图表方法时，每个数字序列都是Baxter排列的，都会给你一个有效的平面图。通过同样的顺序，先向前，然后向后，总是给你一对双子树——你猜对了——它们再次完美互补。（当您将两个树的每个父节点的子节点写到单个图表上时，没有重叠。
“你给我一个Baxter排列，我可以告诉你平面图是什么。你给我一个平面图，我可以告诉你双子树是什么，你给我一棵双子树，我可以告诉你产生它的独特巴克斯特排列是什么！”
三个迷人的概念，起初似乎彼此完全无关，实际上通过三个漂亮的算法一对一地对应。
高德纳编写了执行所有操作的程序——比如将Baxter排列转换为平面图的程序。（“如果你给它一个不是巴克斯特排列的排列，”高德纳告诉观众，“它会嘲笑你，说'太糟糕了。你丢失。这不是巴克斯特的排列！他甚至使用Unix管道将一个程序的输出作为下一个程序的输入 - “当然，我回到了我开始的那个。