图解全排列问题_全排列问题全面解析

一、简介

包含全排列问题、包含重复元素的全排列问题、以及它们的递归和非递归实现、还有如何寻找字典顺序的下一个排列、以及寻找第k个排列数。

二、内容

1、全排列问题(递归解法)

描述

给定一个数组nums，要求给出所有排列情况。

例子：nums = {1，2，3}，返回结果为

[

[1,2,3],

[1,3,2],

[2,1,3],

[2,3,1],

[3,1,2],

[3,2,1]

]

思路

对于以上nums = {1，2，3}的例子，我们对全排列的情况做一个分类：

①以1开头，后面跟着{2，3}的全排列

②以2开头，后面跟着{1，3}的全排列

③以3开头，后面跟着{1，2}的全排列

而对于{2，3}、{1，3}、{1，2}，我们又可以重复使用以上的思路，下面以{2，3}为例分析：

①以2开头，后面跟着{3}的全排列

②以3开头，后面跟着{2}的全排列

而对于{2}、{3}这些只有一个数的集合，它们的全排列就是它们本身。这也就是递归的终止条件。

以上的思路，用代码按如下方式实现：

对于一个有n个元素的数组a，假设其n个元素分别为a[n-1]。

第一步：

将其分成两个部分，第一个元素a[0]和后面其他元素，全排列表示以a[0]为首的所有排列，等于a[0]加上后面部分的全排列

第二步：

使用a[0]和后面的a[1]交换，同样，得到了以a[1]为首的所有全排列。

第三步：

交换回原来的序列，然后再交换a[0]和a[2]。这样能得到以a[2]为首的所有排列，然后再交换回初始状态

第四步：

按上面的交换--求排列--再交换回来的流程分别求出以a[3]-a[n-1]为首的所有排列。

这样就得到了所有的排列情况。

注意：对后面部分的排列情况调用递归实现，返回条件是当后面部分只有一个元素的时候。

实现：

void get_permute(vector& nums, int pos, vector>&result) {if (nums.size() ==pos) {

result.push_back(nums);return;

}for (int i = pos; i < nums.size(); i++) {

swap(nums[pos], nums[i]);

get_permute(nums,pos+1,result);

swap(nums[i], nums[pos]);

}

}

vector> permute(vector&nums) {

vector>result;

get_permute(nums,0,result);returnresult;

}//这是测试用例

intmain()

{

vector v = {1,1,3};

auto result=permute(v);for(auto i : result) {for(auto j : i)

cout<

cout<

}

system("pause");return 0;

}

2、含有重复元素的全排列问题(递归解法)

描述：

假如给定的数组有重复元素，比如nums={1，1，2}，要求求出全排列，不能有重复。

思路：

考虑其中任意一个递归时的情况，假设其第一部分为a[i]，第二部分为a[i+1]到a[n-1]。在这种情况，按照上面的描述将数组分为两个部分求解全排列。(我们假设有元素a[j]，其中i+1 ≤ j ≤ n-1)

重复的情况分为以下两种：

①a[i] = a[j]时，a[i]和a[j]互换得到的序列与之前一样，再求一遍全排列会有重复

②a[j] = a[j2](j2和j取同样范围，但j != j2)。当a[i]与a[j]互换后得到的序列与a[i]与a[j2]互换得到的序列相等，分别对他们求全排列也会出现重复

于是，在上述解法的代码中，get_permute函数的for循环中加入限制条件，让他们跳过这两种情况。

实现：

void get_permuteUnique(vector& nums, int pos, vector>&result) {if (nums.size() ==pos) {

result.push_back(nums);return;

}for (int i = pos; i < nums.size(); i++) {//第一种重复，位置pos和位置i的数重复

if (i != pos && nums[i] == nums[pos]) continue;//第二种重复，位置pos和位置i的数不重复//但pos之后有两个位置i和j，nums[i]和nums[j]有重复,导致pos和同一个数交换了两次

bool find = false; //用find来指示是否找到了这样的i和j

if(i !=pos){int temp =i;while (temp

find= true;break;

}

temp++;

}

}if (find == true)continue;//除去重复结束

swap(nums[pos], nums[i]);

get_permuteUnique(nums, pos+ 1, result);

swap(nums[i], nums[pos]);

}

}

vector> permuteUnique(vector&nums) {

vector>result;

get_permuteUnique(nums,0, result);returnresult;

}//这是测试用例

intmain()

{

vector v = {1,1,3};

auto result=permuteUnique(v);for(auto i : result) {for(auto j : i)

cout<

cout<

}

system("pause");return 0;

}

3、下一个排列(在讲解非递归实现之前的问题)

描述：

给定一个数，按字典顺序找出下一个排列。(如果给出是最大的，则返回最小)

例子：123，下一个比123大的排列是132

321，这是最大的数，返回最小的数123

115，下一个比112大的数是152

思路：

第一步：我们从后往前遍历，寻找第一个位置i，其中i满足nums[i]

第二步：从i处向后寻找，找到一个比i处数更大，但是和i处的数之差最小的位置j。要得到下一个排列数，一定要使换到u处的数尽可能小，但是要大于i处的数。

第三步：调换i和j处的数。这样确保了i处的数是最合适的。因为此时数组后半部分中，j处的数是所有大于i处的数中最小的

第四部：对i+1到末尾的数据进行从小到大排序。最高位替换成了更大的数，故后面的数要尽可能的小，大的数要往后排。

实现：

void nextPermutation(vector&nums) {int last =INT_MIN;inti;for (i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {if (nums.at(i)

last=nums.at(i);

}//判断数据是否是最大排列数，如果是，返回最小排列数

if (i == -1) {

sort(nums.begin(), nums.end());return;

}int min_pos =i;int min =INT_MAX;for (int j = i; j < nums.size(); j++) {if (nums.at(j) - nums.at(i)>0&& nums.at(j) - nums.at(i)

min_pos=j;

}

swap(nums.at(i), nums.at(min_pos));

sort(nums.begin()+i+1,nums.end());

}//这是测试用例

intmain()

{

vector v = {2,3,1};

nextPermutation(v);for(auto k : v) {

cout<< k <

}

system("pause");return 0;

}

4、全排列的非递归实现(不含重复元素)

思路：

上面我们描述了如何寻找下一个排列，嗯，那是非递归实现的，我们只需要对先数进行排序，然后依次调用这个函数就可以了。看实现。

实现：

void nextPermutation(vector& nums,bool&end) {int last =INT_MIN;inti;for (i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {if (nums.at(i)

last=nums.at(i);

}if (i == -1) {

end= true;return;

}int min_pos =i;int min =INT_MAX;for (int j = i; j < nums.size(); j++) {if (nums.at(j) - nums.at(i)>0&& nums.at(j) - nums.at(i)

min_pos=j;

}

swap(nums.at(i), nums.at(min_pos));

sort(nums.begin()+i+1,nums.end());

}

vector> permuteNoRecursion(vector&nums) {

vector>result;bool end = false;

sort(nums.begin(),nums.end());while (end == false) {

vector thistime =nums;

result.push_back(thistime);

nextPermutation(nums,end);

}returnresult;

}//这是测试用例

intmain()

{

vector v = {1,2,3};

auto result=permuteNoRecursion(v);for(auto i : result) {for(auto j : i)

cout<

cout<

}

system("pause");return 0;

}

5、全排列的非递归实现(含重复元素)

思路：

和上面一样利用nextPermutation函数，只是在得到排列之后判断一下是否与之前的排列一样。为此实现了一个简单判断vector是否一致的函数check。应该很好懂了。直接上代码

实现：

void nextPermutation(vector& nums,bool&end) {int last =INT_MIN;inti;for (i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {if (nums.at(i)

last=nums.at(i);

}if (i == -1) {

end= true;return;

}int min_pos =i;int min =INT_MAX;for (int j = i; j < nums.size(); j++) {if (nums.at(j) - nums.at(i)>0&& nums.at(j) - nums.at(i)

min_pos=j;

}

swap(nums.at(i), nums.at(min_pos));

sort(nums.begin()+i+1,nums.end());

}//判断两个vector是否相等

bool check(vector& nums1, vector&nums2) {if (nums1.size() != nums2.size()) return false;for (int i = 0; i < nums1.size(); i++)if (nums2[i] !=nums1[i])return false;return true;

}//主逻辑函数

vector> permuteNoRecursion(vector&nums) {

vector>result;

vectorthistime;bool end = false;

sort(nums.begin(),nums.end());while (end == false) {if (check(thistime, nums) == false) {

thistime=nums;

result.push_back(thistime);

}

nextPermutation(nums,end);

}returnresult;

}//这是测试用例

intmain()

{

vector v = {1,1,3};

auto result=permuteNoRecursion(v);for(auto i : result) {for(auto j : i)

cout<

cout<

}

system("pause");return 0;

}

6、寻找第k个排列(不含重复元素)

第一种：使用前面提到的寻找下一个排列，循环k次，得到第k个排列

第二种：使用排列顺序的规则来直接得到数字

假设有n=4个数，nums={1，2，3，4}

我们可以得到它的有序排列为，共有n！个排列

以1开头

1234

1243

1324

1342

1423

1432

以2开头

2134

2143

2314

2341

2413

2431

以3开头

3124

3142

3214

3241

3412

3421

以4开头

4123

4132

4213

4231

4312

4321

我们首先看第一个位置的数，假设我们要得到第10个排列，以每一个数开头的排列都有(n-1)！种，使用10除(n-1)！，得10/(n-1)! = 1，即第一个数为1，由于10%(n-1)!=4，所以我们要求的排列数在以2开头的排列中位于第四。

接着，n减一，我们使用上一步的余数4/2!得到2，即开头第一个数应该是第二个(由于2在第一个数已经被用到了，所以第二个数应该为3)。

接着后面只有两位，该规律到两位的时候就不符合了。直接判断得出结果。

代码中，使用map的第二个值来表示该数书否已经用过了，而getn函数用来求阶乘

int getn(intn) {int result = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i)

result= result *i;returnresult;

}string getPermutation(int n, intk) {--k;

map m = { {1,1},{2,1},{3,1},{4,1},{5,1},{6,1},{7,1},{8,1},{9,1} };string result = "";for (int i = 1; i <= n; ++i) {intpos;//除的方式到最后两项就不成立了,当剩余两项的时候，直接赋值

if (n - i > 1)

pos= k / (getn(n - i)) + 1;else if (n - i == 1)

pos= k + 1;else if (n - i == 0)

pos= 1;int j = 0;//寻找第pos个数，如果遇到map中第二个数为0，则表示该数已经被用过了

for (; j < pos; ++j) {if (m[j+1] == 0)++pos;

}

result+=to_string(j);

m[j]= 0;if(n - i > 1)

k= k % getn(n -i);

}returnresult;

}//这是测试用例

intmain()

{for (int i = 1; i <= 24; ++i) {

cout<< getPermutation(4, i) <

}

system("pause");return 0;

}