【蓝桥杯】包子凑数

包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 N 种蒸笼，其中第 i 种蒸笼恰好能放 A_i个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述
第一行包含一个整数 $N(1\le N\le 100)$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i(1\le A_i\le 100)$。

输出描述
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例
示例 1
输入

2
4
5

输出

6

样例说明
凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例 2
输入

2
4
6

输出

INF

样例说明
所有奇数都凑不出来，所以有无限多个

思路

• 看起来似曾相识，隐隐约约有一点感觉，之后想起了线性代数中的线性方程组通解的组成，极大线性无关组，向量的基底，矩阵的秩等内容，但还是没有头绪
• 不过有一点启发：在一组向量中找极大线性无关组，每个向量都可以由这个极大线性无关组表示出来。
• 如果我能在给出的那些包子数里面找到几个数(作为“极大无关组”)，使得对于任何包子数，都可以用这些数表示出来，那么就有有限个包子数不能被表示出来。
• 那么对于这道题而言，能找到“极大无关组”就可以输出有多少个包子数不能被凑出，否则就输出INF
• 怎么才算“能找到极大无关组呢”？
• 原问题可以转化为一个解方程的问题，即：给出的每个包子数作为系数，每笼包子的笼数是未知数(自然数)，顾客要求的数目为常数，即$$a_1\ast x_1+a_2\ast x_2+\cdots +a_n\ast x_n=b$$其中$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$是所给出的每笼的包子个数，$b$是顾客要求的包子数目，我们要求的是$(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，即包子的笼数
• 然后参考别人的题解，发现了一个我不知道的定理，那么就不必再纠结于“极大无关组”了，用以下定理解题更清晰
• 裴蜀定理：任意两个数的组合必定是它们最大公约数的倍数。
• 推广：如果$n$个数的最大公约数是$k$，那么它们的组合是$k$的倍数，如果$k\ne 1$，则必然有无限个数无法被组合出来
• 如果每笼包子数目的最大公约数不是1，应该输出INF
• 如果给出的这些包子数互质，即最大公约数为1，那么由定理可知，是有有限个数不能被凑出来的，应该输出个数
• 但是题目并没有说顾客要求的包子数的上限是多少，这里只能确定个大概：
• 因为如果只有两个互质的数$a,b$的话，那么这个"表示不出来的数"的上限为$$u=(a-1)\ast (b-1)-1$$
• 我觉得用这种思路确定上界很不错：当数字更多的时候，这个上界会变小，而题目数据限定$A_i$在100之内，那么用10000作为上限比较好(实际上10000已经比原有的上界更大了)
• 到此正式理清思路，开始解题
• 完全背包(动态规划)
• $dp$数组设为布尔数组即可，为真表示能凑出，为假表示不能凑出，最终统计为假的个数，即为答案
• 初始化$dp[0][0]=1$，因为0个包子能凑出来
• 状态转移方程$$if(j\ge a[i]):dp[i][j]=dp[i-1][j]||dp[i][j-a[i]];$$$$else:dp[i][j]=dp[i-1][j];$$

代码如下

//未优化版本
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAX_VAL = 10000;//上界

vector<int> a;//包子数的数组
vector<vector<bool>> dp;//DP数组
int n;//给出的包子笼数

//求两个数的最大公约数
int gcd(int m, int n) {
    if (n == 0) return m;
    return gcd(n, m % n);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int cd = 0;//最大公约数
    int i = 0, j = 0;//临时变量
    a.resize(n);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        cd = gcd(cd, a[i]);
    }
    if (cd == 1) {
        dp.resize(n + 1);
        for (i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i].resize(MAX_VAL, false);
        }
        dp[0][0] = true;
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            for (j = 0; j < MAX_VAL; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] ||
                           ((j >= a[i - 1]) ? dp[i][j - a[i - 1]] : false);
            }
        }
        int ans = 0;
        for (i = 0; i < MAX_VAL; i++) {
            if (!dp[n][i]) ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
    } else {
        printf("INF\n");
    }
    return 0;
}



//优化版本
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAX_VAL = 10000;
vector<int> a;
vector<bool> dp;
int n;

int gcd(int m, int n) {
    if (n == 0) return m;
    return gcd(n, m % n);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int cd = 0;
    int i = 0, j = 0;
    a.resize(n);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        cd = gcd(cd, a[i]);
    }
    if (cd == 1) {
        dp.resize(MAX_VAL, false);
        dp[0] = true;
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            for (j = 0; j < MAX_VAL; j++) {
            //这个内层循环好像只有01背包是反着的？
                if (j >= a[i - 1]) dp[j] = dp[j] || dp[j - a[i - 1]];
            }
        }
        int ans = 0;
        for (i = 0; i < MAX_VAL; i++) {
            if (!dp[i]) ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
    } else {
        printf("INF\n");
    }
    return 0;
}