数学进阶路线

文章主要内容转载自知乎McKinsey

数学的主要几个分支大概是：代数，几何，分析，概率，离散，计算
推荐数学方面的教材。

1 基础读物

大学数学基础课是数学分析，高等代数，概率三门。

1.1 数学分析

1.1.1 入门

如果想从很浅的基础开始看，《普林斯顿微积分读本》（网上有48课时视频）。所有这些都比国内教材（比如同济的）好很多很多。如果英语基础好的话直接看英文版的，否则看中文的也行。

image.png

1.1.2 进阶

数学分析（或叫做高等数学，微积分）经典名著太多了，比如

• 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》

  
  
  image.png

• 柯朗的《微积分和数学分析引论》

  
  
  image.png

• 卓里奇的《数学分析》

  
  
  image.png

• 美国教材《托马斯微积分》

  
  
  image.png
  
  

  都是好书，不过这些都是惶惶巨著，需要下大功夫研读。

1.2 高等代数

1.2.1 入门

可以看David C.Lay的《线性代数及其应用》，这本书入门级别，但是质量很高，

image.png

1.2.2 进阶

掌握之后可以看《线性代数应该这样学》

image.png

1.2.3 提高

看完线性代数后还觉得不过瘾，可以看高等代数，或者矩阵分析，矩阵理论等等教材，有了线性代数的基础，就有了免疫力，不至于被国内的枯燥教材弄恶心了。

1.2 概率论

看国外的最好

2进阶读物

这三门学完后，就可以进阶了，首先是在这三门的基础上进阶

2.1 数学分析进阶

数学分析进阶可以看实变函数方面的书，比如《陶哲轩实分析》，

image.png

不过这本书偏重数学分析的内容，算是对数学分析的深化理解。

2.2 高等代数进阶

• 高等代数进阶刚才说过了，可以看矩阵分析方面的书。多个方向同时进阶可以看咱们华罗庚的《高等数学引论》。

  
  
  image.png

• 代数方面的，可以看Artin的《代数》，算是入门书，

  
  
  image.png
  
  

  看完之后就可以看代数里的各个方向的著作，比如数论，群论，环，域，拓扑等等。这些方面也是经典著作云集，以国外的为主。

2.3 几何进阶

几何方面的，其实几何与代数到了最后好像要统一了。可以先看解析几何入门，然后进入微分几何，黎曼几何，流形，射影几何，画法几何，双曲几何等等。几何与代数统一叙述的著作，可以看代数拓扑，代数几何，代数曲线，同调论方面的书。

2.4 分析进阶

数学中最大的一个分支应该是分析吧，它主要包括：实分析，复分析，泛函分析，调和分析，向量分析，张量分析，场论，函数论，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分变换，变分法，特殊函数等等。分析这方面相比代数之类的方向来说，更加偏应用一些。这些方面好书实在太多了，首先就是stein的四部曲：

• 《傅里叶分析》，
  image.png

• 《实分析》
  image.png

• 《复分析》
  image.png

• 《泛函分析》。
  image.png

这四部书不厚，但是内容多，不过只要懂微积分和线性代数就可以学习了。

复分析还可以看拉夫连季耶夫的《复变函数论方法》，

image.png

以及一本超级好书：《复分析：可视化方法》

image.png

，前者讲复分析的方法（主要是共形映射）在各个物理，经济等学科里的应用方法，后者主要是把复变函数的抽象思想用非常美的图形表现出来，而且很深刻。

2.4.1 函数论进阶

函数论方面可以看法兰西数学系列（蓝色封皮的）一些书

image.png

• 路见可的《解析函数边值问题教程》
  image.png

• 闻国椿的《共形映射与边值问题》
  image.png

• 函数论常常和奇异积分方程相联系，这方面有经典巨著：穆斯海里什维利的《奇异积分方程》
  image.png

• 实分析常常和泛函分析相联系，可以看国内夏道行的《实变函数与泛函分析》
  image.png
  
  
  ，以及俄罗斯柯尔莫戈洛夫的《函数论与泛函分析初步》
  image.png
  
  ，美国Rudin的《泛函分析》
  image.png
  
  等等。

2.4.2 调和分析进阶

学完实分析与复分析之后就可以看调和分析方面的书了，先推荐一本，stein的超级名著：《调和分析》，

image.png

很厚，牛人stein的专业就是搞调和分析方面的，细细品味吧。

2.4.3 向量分析、张量分析、场论

向量分析，张量分析，场论，其实这三个学科说是分析也是分析，说是几何也是几何，他们和微分几何有着很多联系，可以先看点入门的，

• 一本工程数学类的绿色封皮的《矢量分析与场论》
  image.png

• 一本白色封皮的《向量分析与场论》
  image.png

• 都很薄，同时看美国Matthews的《向量微积分》
  image.png
  
  

  ，这本书也不厚，但是它后面的内容会过渡到指标和张量，便于进入张量的学习。

• 张量分析方面可以看国内黄克智的《张量分析》
  image.png

  ，绝对是好书，作者留学俄罗斯，数学推导功底深不可测，所以学习该书也需要亲自动手推导，不过讲的还是比较清楚的。

• 如果还觉得不够，可以看国外的《张量几何》
  image.png

  ，谁写的名字我忘了。张量本来就是和微分几何一道由黎曼一手发展的，所以到了最后会偏向几何了。

2.4.4方程类的（常微分，偏微分，积分）

常微分

• 常微分的可以入门可以看俄罗斯庞特里亚金的《常微分方程》，
  image.png

• 以及钱伟长的《微分方程的解法及其应用》，国内的在这方面写得还行。

然后进阶的可以看美国人写的教材，一般都会过度到微分流形。偏微分方程，美国人写的好书很多，就不说了。物理里面的《数学物理方法》

image.png

，《数学物理方程》之类的书也会涉及偏微分方程的内容。微分方程的求解常常引出特殊函数，这方面可以看一本我们伟大的先进的文明的中华人民共和国在国际上唯一拿得出手的一本数学书：王竹溪的《特殊函数概论》

image.png

，不过这本书虽说是概论，但内容很多，而且习题超难，据说王竹溪说过“我从来不查积分表”，不知道真的假的。

如果觉得该书太难，那么可以看刘适式，刘适达两人合著的《特殊函数》

image.png

积分

积分方程与泛函分析联系紧密，主要分为两类，奇异积分方程与非奇异的，前者在函数论方面已经说过，后者入门的可以看

• 沈以淡的《积分方程》，
  image.png

• 李星的《积分方程》
  image.png

• 魏培君的《积分方程及其数值方法》
  image.png

进阶的可以看

• 陈传璋的《积分方程论及其应用》
  image.png

  。

• 路见可的《积分方程论》
  image.png
  
  

  ，不过积分方程搞得好的还是前苏联的，所以可以看看维库阿等人的书。

积分变换

积分变换属于比较小的分支，但是应用却及其广泛，可以看复变函数，积分方程方面的书，里面一般会介绍傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换，汉克尔变换，梅林变换，离散傅里叶变换，快速傅里叶变换，小波变换等等。小波变换一般在小波分析方面的书里有详细介绍，小波分析主要是法国数学家发展起来的，很复杂啊。
三大分支介绍完了，再介绍一点别的分支。

3 概率论进阶

概率论的书看完之后，可以看随机过程，统计学等等后续的书。

4 离散数学

离散数学主要在计算机相关专业应用较多，主要包括集合论，数理逻辑，关系代数，逻辑代数，图论等等，每一门都是一个方向，有很多书。计算数学又叫做数值分析，主要是讲插值，逼近，拟合，矩阵计算，线性方程组求解，非线性方程求根，数值积分，数值微分，广义最小二乘等等，随便看哪本书都可以，重在编程计算。