概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率

课前导读

加法原理、乘法原理、组合与排列

第一节 随机事件及其运算

一、随机试验

确定性现象：在一定条件下必然发生。
随机现象：事先无法预知出现哪个结果
统计规律性：随机现象在一次试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性。
观察的过程叫做随机试验。

二、样本空间

随机试验一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示试验的每一个可能结果，又称为样本点。

三、随机事件

当我们通过随机试验来研究随机对象时，每一次试验都只能出现样本空间中的某一个样本点。各个可能结果是否在一次试验中出现是随机的。

在随机试验中，常常关心其中的某一些结果是否会出现，如抛一枚骰子，掷出点数是否为奇数等。这些在一次试验中可能出现也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件，通常用大写字母A,B,C来表示。
从集合的角度说，样本空间的部分样本点组成的集合称为随机事件。

随机事件间的关系与运算

因为集合之间有各种关系，是可以进行运算的，因此在随机事件之间也可以讨论相互的关系，进行相应的运算。

1. 集合的关系有以下几种：

   
   
   包含
   
   
   相等
   
   
   互斥

2. 随机事件的运算也有并、交、差和余四种运算。

   
   
   并
   
   
   交
   
   
   差
   
   
   对立事件（余事件）

由此可推出：

3. 事件的运算性质

   
   

第二节 概率的定义及其性质

频率：在次试验中事件A出现了次，则称比值为这次试验中事件A出现的频率，记为，称为事件A发生的频数。
概率的统计定义为：随着试验次数的增大，频率值逐步“稳定”到一个实数，这个实数称为事件A发生的概率。

概念的公理化定义：

由概率的三条公理，可以得到一些重要的基本性质：

第三节 等可能概型

一、古典概型

古典概型的基本思路：
(1) 只有有限个样本点
(2) 每个基本事件发生的可能性相等

二、几何概型

几何概型是古典概型的推广，保留样本点的等可能性，但去掉了包含有限个样本点的限制。
经典问题：碰面问题，蒲丰投针问题。
根据蒲丰投针问题可以近似地计算

第四节 条件概率与事件的相互独立性

一、条件概率

一般地，条件概率是指在某随机事件A发生的条件下，另一随机事件B发生的概率，记为

条件概率的定义：

可以验证条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质。

概率的乘法公式：

二、事件的相互独立性

事件的独立性定义：

由此引出定理：

可以将相互独立性推广到三个事件、……、n个事件

第四节 全概率公式与贝叶斯公式

将一些较为复杂的随机事件的概率计算问题分解为一些较容易计算的情况分别进行考虑。

完备事件组：

定理1 全概率公式：

定理2 贝叶斯公式：
由条件概率的定义及全概率公式得到。
已知结果，寻找原因。

先验概率和后验概率：

扩展阅读

贝叶斯派和经典统计学学派为现代统计学的两大分支，差别在于是否使用先验信息。