算法导论：最大子序列和

算法导论：最大子序列和

问题描述：
什么是最大子序列和呢?
就是给定一组序列，所有子序列中和最大的那一组序列。
比如这里给出一组序列{-2，11，-4，13}

子序列

这里列出了10个子序列。

最大子序列和

其中20就是我们要求的最大子序列和。
关于最大子序列和有几个注意事项：

1. 空序列也是子序列，它的和为0；
2. 如果序列中所有整数均为负数，则最大子序列和为0;
3.子序列一定是连续的;

穷举法1

算法思想：穷举所有子序列，找最大的。

穷举法1

如上图所示，列出所有子序列，再找出其中最大的和，不过这其中会出现大量重复的计算，比如-2+11就计算了三遍，耗费大量时间，下面计算时间复杂度。

n个数序列

假如是有n个数的序列，那它会有多少个子序列呢？从1开始的子序列有n个，从2开始的子序列有n-1个，所以总共的子序列为：

总序列数

现在我们知道了总序列数，也就是序列的个数，那这些序列和的计算次数是多少？

计算次数

由1开始的子序列有n个，从{1，2}一直到{1，2····n-1,n}，我们在计算这些序列和时，{1，2}相当于计算了1次，就是1+2。计算{1,2,3}时我们又计算了一次1+2，所以这次计算了2次，那由1开始的序列计算的次数就是1+2+····+n也就是图中所示的结果。2开始的序列的计算次数就是1+2···+n-1，以此类推求出所有序列的计算次数，最后得出总的计算次数。所以时间复杂度为O(n³)

穷举法2

算法思想：在某点开始的所有序列中找最大的，找最大的。

比如这里给出一组序列{-2，11，-4，13}，首先计算由-2开始的所有子序列和，再找出其中最大的

穷举法2

可以看到这种方法避免了穷举法1中每次都要从头开始相加而造成的大量浪费，下面我们依次计算由11，-4，13开始的序列，找出最大子序列和。

穷举法2

在分别求出以-2，11，-4，13开始的最大子序列和后，再选择其中最大的那个，就是我们要找的最大子序列和。但是这其中依然包含了重复计算，如上图所示，计算由-2开始的序列时，我们计算了11+-4+13，在计算由11开始的序列时，也依然计算了11+-4+13，造成了重复计算。
那所有这些序列的总共计算次数是多少呢？

时间复杂度

在穷举法2中，由1开始的序列有n个，但因为避免了穷举法1中的重复计算，所以计算次数只有n次，总共的计算次数就是1+2+···+n次，所以时间复杂度是O(n²)。

分治法

分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

给出一个序列{a,b,c,d,e,f,g}，显然最大子序列和只可能出现在三个地方：

1、输入序列的左半部分；
2、输入序列的右半部分；
3、跨越输入序列的中部而位于左右两个部分；

所以我们只需要分别找出这三个部分的最大子序列和，再比较这三个和的大小，找出最大的子序列和即可。

分治法

我们可以通过递归的方法找到左半部分最大子序列和lsum以及右半部分最大子序列和rsum。

分治法

找到跨越中部的最大子序列和，因为这个子序列和一定是跨越中部的，所以只需要确定好中部，然后使lmax以及rmax都为最大，那么csum就是我们要找的子序列。最后比较这三个子序列的大小，最大的和就是最大子序列和。这里使用的是分治法，分治法的时间复杂度为O(nlgn)，详解请看分治法

动态规划法

分析：
1、因为最大子序列和的最小取值为0，所以最大子序列的第一个元素不会是负的。
若a[i]<0,则a[i]开头的序列，一定不如a[i+1]开头的序列大。
2、同理任何负的子序列，不可能作为最大子序列和的前缀。

动态规划法

这里的{4、-5}不能作为子序列的前缀。
3、如若一个子序列和thisSum>0（其中thisSum是从第m项到第n项的和），那么最大子序列和一定不会以a[m+1]和a[n]之间的项开始。

动态规划

这里{1、5、-3、2}这个序列和大于0，那么最大子序列和就不会是从5或者-3或者2开始的，因为由这些开始，加上前面的1会更大。
下面将用介绍具体的例子：
首先给出序列{-5、15、-2、13、-9、-1、9、-30、10、3}。

动态规划

用标记分别标出，子序列和的起始位置，最大子序列和起使以及终点位置，此时三个位置都在-5这里。并且记录下该时刻最大子序列和的值以及子序列和的值。

动态规划

当指针移动到15时，根据上面的第一条规则，最大子序列的第一个元素不为负数，所以此时三个标记都要移动到15，子序列的和为15，同时更新最大子序列的和15。

动态规划

当指针移动到-2时，更新此时的子序列和为13，发现13<15,所以最大子序列和依然是15，且起使、终点位置也不改变。

动态规划

当指针移动到13时，子序列和变为26>15，所以更新最大子序列和为26。并且最大子序列的终点位置也要发生变化。

动态规划

在指针移动过-9、-1、9、-30时子序列和的值都没有26打，所以最大子序列和并未更新，不过指针移动到-30时子序列和变为了-5，也就是{15、-2、13、-9、-1、9、-30}和为-5，根据规则2，这个序列一定不会是最大子序列的前缀。而且{15、-2、13、-9、-1、9}这个序列的和是大于0的，根据规则3，最大子序列和一定不会是从{-2、13、-9、-1、9}这里面的某一项开始的。所以最大子序列和不会是以{15、-2、13、-9、-1、9、-30}为前缀开始的，也不会是以{15、-2、13、-9、-1、9、-30}中的某一项开始的。那么当我们下一步，移动子序列起使位置的标记时，就可以跳过这里面所有的数，移动到-30后面的数。

动态规划

子序列和的起使位置变为了10，10<26，所以最大子序列和的值以及标记依然不发生变化。

动态规划

序列遍历完成后，可从记录中得知，最大子序列和为26，序列是{15、-2、13}。
在整个过程中，我们只用指针遍历了一遍序列，并且做了简单的记录，所以动态规划算法的时间复杂度是O(n)。

总结

穷举法1：
算法思想：穷举所有子序列，找最大的。
时间复杂度：O(n³)
缺点：包含大量重复计算。
穷举法2：
算法思想：在某点开始的所有子序列中，找最大的。
时间复杂度：O(n²)
缺点：同样包含重复计算。
分治法：
算法思想：利用可分解、递归的性质，采用分治策略。
时间复杂度：O(nlgn)
动态规划法：
算法思想：采用了动态规划的方法。
时间复杂度：O(n)