数列问题1

2019协作体夏令营

已知是严格递增的正整数数列，证明存在无穷多素数p，使得存在互不相同的正整数满足。

证明：

反证法，假设只有有限个素数能成为三元和的素因子。

下面对用归纳法证明：

引理：如果我们已经取出了的子列满足其做任意的三元和素因子分解中出现的次数分别有上界，其中且互不相同。那么可以找到一个，以及的子列满足其做任意的三元和，素因子分解中出现的次数不超过一个正整数 。

引理证明：不妨仍用  记  （为了记号方便），任意三元和的素因子分解中出现的次数不超过。

由于是递增的正整数数列，所以存在使 q 在数列  的素因子分解中次数没有上界。

设，不整除，根据上面的假设，可以找到 的子列，使得，其中不整除，而且有：

那么就有，即。考虑的素因子分解中q出现的次数，因为

由于中q的次数至少为3，而中的次数之多为1，所以中的次数至多为，设,引理得证。

回到原题，根据引理我们可以取出一个子列，任意做三元和，素因子分解中每个的次数都有上界，这显然和原数列严格增到无穷是矛盾的。