线性代数——向量组的线性相关性
文章目录
- 版权声明
- 前言
- 向量和向量组
- 向量组的线性表示
- 向量组等价
- 向量组的线性相关和线性无关
- 向量组的秩
版权声明
本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。
前言
- 重点：向量和矩阵的相似性导致我在学习过程中掉以轻心，从而学的懵懵懂懂，以至于再重新返工，如果矩阵作为线代的入门，那么向量就是线代承前启后的最重要的节点，因此一定要弄清楚向量的所有概念，否则也避免不了反工。
- 向量的写法：向量可以使用小括号、中括号和大括号包裹，三种方式均可。
- 向量和向量组：分清楚向量和向量组，这一点至关重要。
- 向量和矩阵：务必分清这两者的区别和联系。
向量和向量组
由 n n n个数 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an构成的有序集合称为 n n n维向量，记为：
[ a 1 a 2 … a n ] ( 行向量 ) [ a 1 a 2 … a n ] ( 列向量 ) T \begin{bmatrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{bmatrix}_{(行向量)}\\ \begin{bmatrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{bmatrix}^T_{(列向量)} [a1a2…an](行向量)[a1a2…an](列向量)T
其中 a i a_i ai称为向量的第 i i i个分量 ( i = 1 , 2 , … , n ) (i=1,2,\dots,n) (i=1,2,…,n)，如果向量的所有分量都是 0 0 0，就称其为零向量，记作 O = [ 0 , 0 , … , 0 ] O=[0,0,\dots,0] O=[0,0,…,0]
设 n n n维向量 α = [ a 1 , a 2 , … , a n ] , β = [ b , b 2 , … , b n ] \alpha=[a_1,a_2,\dots,a_n],\beta=[b_,b_2,\dots,b_n] α=[a1,a2,…,an],β=[b,b2,…,bn]，则：
- α = β ⇔ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , … , a n = b n \alpha=\beta\Leftrightarrow a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n α=β⇔a1=b1,a2=b2,…,an=bn
- 向量加法： α + β = [ a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ] \alpha+\beta=[a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n] α+β=[a1+b1,a2+b2,…,an+bn]
- 数乘向量： k α = [ k a 1 , k a 2 , … , k a n ] k\alpha=[ka_1,ka_2,\dots,ka_n] kα=[ka1,ka2,…,kan]
- 向量内积： α β = α T β = β T α = a 1 b 1 + a 2 b 2 , + ⋯ + a n b n \alpha \beta=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=a_1b_1+a_2b_2,+\dots+a_nb_n αβ=αTβ=βTα=a1b1+a2b2,+⋯+anbn
n n n个同维数的向量组成的有序集合称为向量组。
向量组的线性表示
设 n n n维向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn和 n n n个实数 k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn，称 k 1 α 1 , + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n k_1\alpha_1,+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n k1α1,+k2α2+⋯+knαn
是向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn的一个线性组合， k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn称为这个线性组合的系数。如果向量 β \beta β可以表示为 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn的线性组合，即
β = k 1 α 1 , + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n \beta=k_1\alpha_1,+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n β=k1α1,+k2α2+⋯+knαn
则称向量 β \beta β可由 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn线性表示。向量 β \beta β可由向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn线性表示，等价于非齐次线性方程组
[ α 1 α 2 … α n ] [ k 1 k 2 ⋮ k m ] = β \begin{bmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\dots&\alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1\\k_2\\\vdots\\k_m \end{bmatrix} =\beta [α1α2…αn] k1k2⋮km =β
有解。
向量组等价
设向量组 α 1 , α 2 , … , α n ① \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n① α1,α2,…,αn①， β 1 , β 2 , … , β m ② \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m② β1,β2,…,βm②，若 ① ① ①中的每个向量均可由 ② ② ②线性表示，则称向量组 ① ① ①可由向量组 ② ② ②线性表示，若向量组 ① ① ①和向量组 ② ② ②可以互相线性表示，则称向量组 ① ① ①等价于向量组 ② ② ②。注意：
- 矩阵等价和矩阵对应的向量组等价没有任何关系：
- 矩阵 A A A和矩阵 B B B等价： A A A经初等变换可变为 B B B。
[ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} [1000]等价于 [ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} [0001] - 向量组①和②等价：①和②可互相线性表示。
[ 1 0 ] \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} [10] [ 0 0 ] \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} [00]不等价于 [ 0 0 ] \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} [00] [ 0 1 ] \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} [01]
- 矩阵 A A A和矩阵 B B B等价： A A A经初等变换可变为 B B B。
如果向量组②可由向量组①线性表示，则 r ( A ) ≤ r ( B ) r(A)≤r(B) r(A)≤r(B)，如果向量组①也能由向量组②线性表示，那么 r ( A ) = r ( B ) = r ( A ∣ B ) r(A)=r(B)=r(A|B) r(A)=r(B)=r(A∣B)。其中
B = [ β 1 β 2 … β m ] T , A = [ α 1 α 2 … α n ] T B=\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&\dots&\beta_m\end{bmatrix}^T,A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\dots&\alpha_n\end{bmatrix}^T B=[β1β2…βm]T,A=[α1α2…αn]T
证明：①可由②表示，等价于
B X = α 1 , B X = α 2 , … , B X = α n BX=\alpha_1,BX=\alpha_2,\dots,BX=\alpha_n BX=α1,BX=α2,…,BX=αn
都有解，等价于
r ( B ) = r ( B , A ) r(B)=r(B,A) r(B)=r(B,A)
又因为 r ( A ) ≤ r ( B , A ) r(A)≤r(B,A) r(A)≤r(B,A)，所以 r ( A ) ≤ r ( B ) r(A)≤r(B) r(A)≤r(B)。
向量组的线性相关和线性无关
对 n n n维向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn，如果存在不全为零的系数使得 k 1 α 1 , + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = O k_1\alpha_1,+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=O k1α1,+k2α2+⋯+knαn=O则称向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn线性相关，否则就称它线性无关。 n n n维向量组 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn线性相关等价于齐次方程组
[ α 1 α 2 … α n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = O \begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\dots&\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=O [α1α2…αn] x1x2⋮xn =O
有非零解，亦等价于 r ( [ α 1 α 2 … α n ] ) < n r(\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\dots&\alpha_n\end{bmatrix})
∣ α 1 α 2 … α n ∣ = 0 \begin{vmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\dots&\alpha_n \end{vmatrix}=0 α1α2…αn =0
线性相关的性质如下：
- n + 1 n+1 n+1个 n n n维向量必线性相关。
- 如果 n n n维向量组 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an线性相关，那么 m m m维向量组 a 1 , a 2 , … , a n , … , a m ( m > n ) a_1,a_2,\dots,a_n,\dots,a_m(m>n) a1,a2,…,an,…,am(m>n)也一定线性相关。
- 如果 n n n个 n n n维向量线性相关，那么 n n n个 m ( m > n ) m(m>n) m(m>n)维向量也一定线性相关。
- 如果 a 1 , a 2 , … , a n ( n ≥ 2 ) a_1,a_2,\dots,a_n(n≥2) a1,a2,…,an(n≥2)线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔至少有一个向量 a i a_i ai可由其余向量 a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n a_1,\dots,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_n a1,…,ai−1,ai+1,…,an线性表示。
证明：如果 a 1 , a 2 , … , a n ( n ≥ 2 ) a_1,a_2,\dots,a_n(n≥2) a1,a2,…,an(n≥2)线性相关，则存在不全为 0 0 0的 k 1 k 2 … k n k_1k_2\dots k_n k1k2…kn使得：
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k n a n = 0 k_1a_1+k_2a_2+\dots+k_na_n=0 k1a1+k2a2+⋯+knan=0
不妨设 k 1 ≠ 0 k_1\neq0 k1=0，则有：
k 1 a 1 = − k 2 a 2 − k 3 a 3 − ⋯ − k n a n k_1a_1=-k_2a_2-k_3a_3-\dots -k_na_n k1a1=−k2a2−k3a3−⋯−knan
那么：
a 1 = − k 2 k 1 a 2 − k 3 k 1 a 3 − ⋯ − k n k 1 a n a_1=-\frac{k_2}{k_1}a_2-\frac{k_3}{k_1}a_3-\dots-\frac{k_n}{k_1}a_n a1=−k1k2a2−k1k3a3−⋯−k1knan
如果至少有一个向量 a i a_i ai可由其余向量 a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n a_1,\dots,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_n a1,…,ai−1,ai+1,…,an线性表示，那么：
a i = a 1 k 1 + ⋯ + a i − 1 k i − 1 + a i + 1 k i + 1 + ⋯ + a n k n a_i=a_1k_1+\dots+a_{i-1}k_{i-1}+a_{i+1}k_{i+1}+\dots+a_nk_n ai=a1k1+⋯+ai−1ki−1+ai+1ki+1+⋯+ankn
表示，那么：
0 = a 1 k 1 + ⋯ + a i − 1 k i − 1 + a i + 1 k i + 1 + ⋯ + a n k n − a i 0=a_1k_1+\dots+a_{i-1}k_{i-1}+a_{i+1}k_{i+1}+\dots+a_nk_n-a_i 0=a1k1+⋯+ai−1ki−1+ai+1ki+1+⋯+ankn−ai
显然该方程式的系数不全为零，所以该方程式线性相关。 - 如果 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an线性无关，而 a 1 , a 2 , … , a n , b a_1,a_2,\dots,a_n,b a1,a2,…,an,b线性相关，则向量 b b b必能由 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an线性表示且表示法唯一。
证明：如果 a 1 , a 2 , … , a n , b a_1,a_2,\dots,a_n,b a1,a2,…,an,b线性相关，则：
a 1 k 1 + a 2 k 2 + ⋯ + a n k n + b k n + 1 = 0 a_1k_1+a_2k_2+\dots+a_nk_n+bk_{n+1}=0 a1k1+a2k2+⋯+ankn+bkn+1=0
假设 k n + 1 = 0 k_{n+1}=0 kn+1=0，那么 k 1 , k 2 , … , k n k_1,k_2,\dots,k_n k1,k2,…,kn不全为零，则 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an线性相关，与已知相违背，所以向量 b b b必能由 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an线性表示。如果 b b b有两种不同的表示法，则：
b = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n b = a 1 y 1 + a 2 y 2 + ⋯ + a n y n b=a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n\\ b=a_1y_1+a_2y_2+\dots+a_ny_n b=a1x1+a2x2+⋯+anxnb=a1y1+a2y2+⋯+anyn
那么：
0 = ( x 1 − y 1 ) a 1 + ( x 2 − y 2 ) a 2 + ⋯ + ( x n − y n ) a n 0=(x_1-y_1)a_1+(x_2-y_2)a_2+\dots+(x_n-y_n)a_n 0=(x1−y1)a1+(x2−y2)a2+⋯+(xn−yn)an
且 x 1 − y 1 , x 2 − y 2 , … , x n − y n x_1-y_1,x_2-y_2,\dots,x_n-y_n x1−y1,x2−y2,…,xn−yn不全为零，则 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an线性相关，与已知相违背，所以 b b b的表示法唯一。 - 如果 a 1 , a 2 , … , a s a_1,a_2,\dots,a_s a1,a2,…,as可由 b 1 , b 2 , … , b t b_1,b_2,\dots,b_t b1,b2,…,bt线性表示，且 s > t s>t s>t，则 a 1 , a 2 , … , a s a_1,a_2,\dots,a_s a1,a2,…,as必线性相关（多数向量可被少数向量线性表示，那么多数向量一定线性相关）。
证明：因为 a 1 , a 2 , … , a s a_1,a_2,\dots,a_s a1,a2,…,as可由 b 1 , b 2 , … , b t b_1,b_2,\dots,b_t b1,b2,…,bt线性表示，那么：
{ a 1 = c 11 b 1 + c 21 b 2 + ⋯ + c t 1 b t a 2 = c 12 b 1 + c 22 b 2 + ⋯ + c t 2 b t … a s = c 1 s b 1 + c 2 s b 2 + ⋯ + c t s b t \begin{cases} a_1=c_{11}b_1+c_{21}b_2+\dots+c_{t1}b_t\\ a_2=c_{12}b_1+c_{22}b_2+\dots+c_{t2}b_t\\ \dots\\ a_s=c_{1s}b_1+c_{2s}b_2+\dots+c_{ts}b_t\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a1=c11b1+c21b2+⋯+ct1bta2=c12b1+c22b2+⋯+ct2bt…as=c1sb1+c2sb2+⋯+ctsbt
即有：
[ a 1 a 2 … a s ] = [ b 1 b 2 … b t ] [ c 11 c 12 … c 1 s c 21 c 22 … c 2 s ⋮ ⋮ ⋮ c t 1 c t 2 … c t s ] ( 记为 C ) \begin{bmatrix} a_1&a_2&\dots&a_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1&b_2&\dots&b_t \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&\dots&c_{1s}\\ c_{21}&c_{22}&\dots&c_{2s}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{t1}&c_{t2}&\dots&c_{ts}\\ \end{bmatrix} (记为C) [a1a2…as]=[b1b2…bt] c11c21⋮ct1c12c22⋮ct2………c1sc2s⋮cts (记为C)
因为 s > t s>t s>t，那么 C X = 0 CX=0 CX=0必有非零解（未知数多，方程少），假设
η = ( k 1 , k 2 , … , k s ) \eta=(k_1,k_2,\dots,k_s) η=(k1,k2,…,ks)是该方程组的解，则 C η = 0 C\eta=0 Cη=0，那么
[ a 1 a 2 … a s ] η = [ b 1 b 2 … b t ] C η = 0 \begin{bmatrix} a_1&a_2&\dots&a_s \end{bmatrix}\eta = \begin{bmatrix} b_1&b_2&\dots&b_t \end{bmatrix}C\eta=0 [a1a2…as]η=[b1b2…bt]Cη=0
即 ∃ k 1 , k 2 , … , k s \exists k_1,k_2,\dots,k_s ∃k1,k2,…,ks不全为 0 0 0，使
k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k s a s = 0 k_1a_1+k_2a_2+\dots+k_sa_s=0 k1a1+k2a2+⋯+ksas=0
所以 a 1 , a 2 , … , a s a_1,a_2,\dots,a_s a1,a2,…,as必线性相关。 - 如果 a 1 , a 2 , … , a s a_1,a_2,\dots,a_s a1,a2,…,as线性无关，且可由 b 1 , b 2 , … , b t b_1,b_2,\dots,b_t b1,b2,…,bt线性表示，则 s ≤ t s≤t s≤t。
线性相关的几何意义如下：
- a a a相关 ⇔ a = 0 \Leftrightarrow a=0 ⇔a=0
- a 1 a 2 a_1a_2 a1a2相关 ⇔ a 1 a 2 \Leftrightarrow a_1a_2 ⇔a1a2共线。
- a 1 a 2 a 3 a_1a_2a_3 a1a2a3相关 ⇔ a 1 a 2 a 3 \Leftrightarrow a_1a_2a_3 ⇔a1a2a3共面。
向量组的秩
在向量组 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an中，如任意 r r r个向量 a i 1 , a i 2 , … , a i r a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir} ai1,ai2,…,air线性无关，再添加任意一个 a j ( j = 1 , 2 , … , n ) a_j(j=1,2,\dots,n) aj(j=1,2,…,n)，向量组 a i 1 , a i 2 , … , a i r , a j a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir},a_j ai1,ai2,…,air,aj就线性相关，则称 a i 1 , a i 2 , … , a i r a_{i1},a_{i2},\dots,a_{ir} ai1,ai2,…,air是向量组 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an的一个极大线性无关组。如果 a r 1 , a r 2 , … , a r s a_{r1},a_{r2},\dots,a_{rs} ar1,ar2,…,ars与 a j 1 , a j 2 , … , a j t a_{j1},a_{j2},\dots,a_{jt} aj1,aj2,…,ajt都是向量组 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an的极大无关组，则 r = t r=t r=t。向量组 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,…,an的极大线性无关组中所包含向量的个数称为向量组的秩，记作 r ( a 1 , a 2 , … , a n ) = r r(a_1,a_2,\dots,a_n)=r r(a1,a2,…,an)=r。只有零向量的向量组，规定其秩为 0 0 0。向量组的秩的性质如下：
- 矩阵 A A A的秩等于 A A A的列向量组的秩，也等于 A A A的行向量组的秩。
- 如果 a 1 , a 2 , … , a s a_1,a_2,\dots,a_s a1,a2,…,as可由 b 1 , b 2 , … , b n b_1,b_2,\dots,b_n b1,b2,…,bn线性表示，则 r ( a 1 , a 2 , … , a s ) ≤ r ( b 1 , b 2 , … , b n ) r(a_1,a_2,\dots,a_s)≤r(b_1,b_2,\dots,b_n) r(a1,a2,…,as)≤r(b1,b2,…,bn)。