OpenGL投影矩阵

概述

电脑显示器是2D平面，一个3D物体通过OpenGL渲染投影到2D显示器平面形成图像，GL_PROJECTION是OpenGL用于投影转换的矩阵。首先，转换3D物体的顶点数据从相机空间到裁剪空间，然后，通过除以W（齐次坐标）从裁剪空间再转换到标准设备空间（NDC）。
因此，我们需要意识到裁剪计算和NDC转换都是整合到了GL_PROJECTION矩阵里了。接下来的内容将探讨怎么构建投影矩阵，使用6个代表边界值的参数分别是：left，right，bottom，top，near ， far（下面简写为l、r、b、t、n、f）。有一点注意一下，裁剪计算是在转换成NDC坐标之前发生的，即在除以（齐次坐标）之前。通过裁剪坐标,,和（这里的c下标表示裁剪空间）做对比，如果裁剪坐标小于或大于将被裁减掉（），然后OpenGL会重新构建网格边缘。

一个被平头视锥裁剪的三角形

透视投影

在透视投影里，一个3D点在一个平头视锥体里面（相机空间）是要被映射到一个正方体（NDC空间）里的，x坐标的区间从[l,r]映射到[-1,1]，y坐标的区间从[b,t]映射到[-1,1]，z坐标的区间从[-n,-f]映射到[-1,1]。

投影视锥和标准设备空间(NDC)

注意一点，相机空间是使用右手坐标系统，但是NDC坐标空间使用左手坐标系统，这就是相机在原点沿着-Z方向看，但是在NDC空间是反过来的。因为glFrustum()仅仅接收正的near和far值，在构造GL_PROJECTION矩阵时我们需要给他们变成负值。
在OpenGL里，一个3D点在相机空间是被投影到near平面（projection plane 即下图的-n平面）。下面的图片展示一个点( )在相机空间投影到near平面上的点( )。

从上往下看视锥体

从侧面看视锥体

从上往下看视锥体，相机空间的x坐标点 投影到 ，通过相似三角形原理得： = => = =
同理，从侧边看视锥体可得： = => = =
注意到， 和 都依赖 ,他们和 成相反的比例，也就是说他们都需要除以 。这是非常有用的线索，用于构建GL_PROJECTION矩阵上，通过乘以GL_PROJECTION矩阵从相机空间转换到裁剪空间，坐标仍然是齐次坐标，除以裁剪空间的w最终变成规范化设备坐标空间（NDC）（更多资料请查阅OpenGL Transformation）

投影矩阵乘以相机空间坐标得到裁剪空间坐标

裁剪空间坐标除以W得到NDC空间坐标

因此，我们可以设置裁剪空间的w坐标等于 ，然后投影矩阵GL_PROJECTION的第四行就变成(0,0,-1,0)。

根据矩阵乘法公式计算得，裁剪空间的w值等于相机空间的-z值

下一步，我们通过线性关系映射（p下标表示投影空间未有裁剪的）和（p下标表示投影空间未有裁剪的）到NDC坐标空间的（n下标表示NDC空间）和（n下标表示NDC空间），即：[l,r] => [-1,1] [b,t] => [-1,1]

为了直观点，可以把映射值连成的直线平移经过原点再平移回来

映射的最大点和最小点是已知的，代入上式可以求出平移值推导出映射公式

为了直观点，可以把映射值连成的直线平移经过原点再平移回来

映射的最大点和最小点是已知的，代入上式可以求出平移值推导出映射公式

然后使用上面的 和 两个等式替换到 和 等式里：

求出NDC空间坐标，构造成除以w的形式

求出NDC空间坐标，构造成除以w的形式

注意到，我们故意把等式构造成除以 的形式，即与透视除法( )等同，只要把 看成 上面等式括号的值就是裁剪空间的 和 。
从上面的等式总结，我们可以找到GL_PROJECTION矩阵第一行和第二行的构造方法

裁剪空间坐标等于投影矩阵乘以相机空间坐标

现在GL_PROJECTION矩阵只剩下第三行没构造好，构造 稍微不同于 、 ，因为在相机空间z_e总是投影在near平面的-n点上，由于我们需要z值方便做深度测试和裁剪，另外也需要逆转换投影，我们知道z是不依赖于x或y的值，我们可以借用w表示 和 之间的关系，因此我们可以构造GL_PROJECTION矩阵的第三行如下图：

z是不依赖于x和y的，因此第三行矩阵x和y的值是0

在相机空间， 等于1，因此等式变成：

在相机空间的坐标w为1，因此可以略去

为了求出系数A和B，根据上面等式得出 和 的关系，假设 等于-n（即近平面）那么 等于-1（即映射到NDC空间的坐标应为-1）， 等于-f（即远平面）那么 等于1（映射到NDC空间的坐标应为1），带入上面等式：

由等式（1）推出：

把B等式代入等式（2）：

把A等式代入等式（1）：

得到A和B的等式可导出 和 的关系等式：

NDC空间坐标的z值和相机空间坐标的z值的关系等式

最终，可得到整个GL_PROJECTION矩阵：

完整的投影矩阵公式

当视锥体是个对称视锥体时，r = -l ， t = -b 所以可以简化矩阵公式：

最后，再审视一下上面等式（3）表达的 和 的关系。注意到这个等式函数是非线性关系的，意思是在近平面时会有非常高的精度，反过来在远平面会有非常低的精度。如果区间[-n,-f]是个很大的范围会导致出现深度（z值）精度的问题（z-fighting）， 改变很小的值不会计算得到对应的 的值。所以，n和f之间的区间应该小点以减少z深度的精度问题。

z-fighting，可以看到右图跨度大，打圈处的f值由于精度问题都会对应1

正交投影

构造正交投影矩阵 GL_PROJECT比构造透视投影矩阵简单多了，只需要在相机空间里线性的映射到NDC空间。我们只需要缩放长方体变成正方体，然后移到原点位置，让我们看看GL_PROJECTION的各元素之间的线性关系吧。

相机空间的x映射到NDC空间的x，同透视投用一样，可以先平移到原点再平移回来

注意，没有投影，NDC空间的x直接和相机空间的x成线性关系

相机空间的y映射到NDC空间的y，同透视投用一样，可以先平移到原点再平移回来

注意，没有投影，NDC空间的y直接和相机空间的y成线性关系

相机空间的z映射到NDC空间的z，可以先平移到原点再平移回来

注意，没有投影，NDC空间的z直接和相机空间的z成线性关系

因为正交投影矩阵是不需要用w计算z值的（z值也是线性关系直接求出来，透视投影需要用w来间接计算 的关系），矩阵GL_PROJECTION的第四行保留为(0,0,0,1)，因此完整的正交投影矩阵为：

正交投影矩阵公式

当视锥体是对称长方体，即r = -l、t = -b，有：

坐标转换：模型坐标 -> 世界坐标 -> 相机坐标 -> 裁剪坐标 -> NDC坐标
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