Python求矩阵的特征值和广义特征值

简介

对于矩阵$A$而言，$Ax=\lambda x$成立，则$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$为其对应的特征向量。

在scipy.linalg中，提供了8个特征值函数，名字中带有vals的函数，用于特征值；不带有vals的，既求解特征值，也求解特征向量，列表如下：

		适用情况
eig	eigvals	方阵
eigh	eigvalsh	厄米矩阵
eig_banded	eigvals_banded	厄米带状矩阵
eigh_tridiagonal	eigvalsh_tridiagonal	对称三对角矩阵

下面以eig和eigvals为例，首先，新建一个随机矩阵

import scipy.linalg as sl
import numpy as np
A = np.random.rand(3,3)

然后求解

>>> sl.eig(A)
(array([2.16638067+0.j, 0.6904848 +0.j, 0.01668197+0.j]), array([[-0.39800769, -0.70823117, -0.26519409],
       [-0.57654765,  0.69476372, -0.54787827],
       [-0.71357038,  0.12534748,  0.7934113 ]]))
>>> sl.eigvals(A)
array([2.16638067+0.j, 0.6904848 +0.j, 0.01668197+0.j])

可见，eigvals返回的是三个特征值；eig则在三个特征值之外，还返回了三个特征向量。

广义特征值

对于矩阵$A$而言，若$Ax=\lambda Bx$成立，则$\lambda$是$A$关于$B$的一个特征值，$x$为其对应的特征向量。所以，特征值，就是$B$为单位矩阵情况下的广义特征值。而当$B$正定时，广义特征值问题可退化为特征值问题$B^{-1}Ax=\lambda x$。

在scipy.linalg所提供的特征值求解函数中，用参数b表示广义特征值中的$B$矩阵。下面仍以eig为例，做下示范

B = np.random.rand(3,3)
e,v = sl.eig(A,B)
A@v[:,0]
# array([-0.72856533, -0.05542475, -0.47954844])
e[0]*B@v[:,0]
# array([-0.72856533+0.j, -0.05542475+0.j, -0.47954844+0.j])

可见$Ax=\lambda Bx$。

参数

这8个特征向量求解器中，前四个参数比较相近，其主要参数形式均为eig(a, b=None)，其中a为待求矩阵；b为矩阵时求广义特征值。

默认check_finite=True，即求解之前检查有限情况；且通过设置overwrite_a或overwrite_b为True，可以在处理过程中覆盖a或b，以获取更快的速度。

在eig, eigvals中，提供参数homogeneous_eigvals，为True时返回齐次坐标结果。eig可设置left或right为True或False，以求解左特征向量或右特征向量，默认为右。

eigh, eigvalsh主要用于求解厄米矩阵，即对称共轭矩阵，除了上面提到的a, b, check_finite, overwrite_xx之外，还有下列参数

• lower 默认为True， 表示在计算时适用下三角，否则使用上三角。
• type 可选1, 2, 3，分别对应下面三种情况
  1. a @ v = w @ b @ v
  2. a @ b @v = w @ b @ v
  3. b @ a @v = w @ v
• driver 可指定LAPACK中的求解器，对于某些求解器，需要设置subset_by_index和subset_by_value参数。由于内容太多，所以不再赘述。

后面四个函数感觉用的并不多，所以就不介绍了。