无标度性（scale-free）与标度不变性（scale invariance）

目录

一、前言

二、无标度性（scale-free）

三、标度不变性（scale invariance）

四、总结

参考文献

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一、前言

在学习《Emergence of Scaling in Random Networks》这篇经典的文章时，文中提到了两种说法的性质——无标度性（scale-free）与标度不变性（scale invariance），往往我们会把它当作是同一种性质，或许事实也确实如此。

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二、无标度性（scale-free）

期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩。如果知道了这两个矩，整个分布的特征就清楚了。但是经过数学分析，你会惊讶地发现幂律分布随机数的方差总是不存在的，在一些情况下，连期望都不存在。《网络科学导论》P114中也有这样一个定理。

定理3-2：幂律分布 pk=Ck^-γ 存在有限个m阶矩的充要条件为 γ>m+1 。

意思就是说，存在有限一阶矩（有限均值）的充要条件是 γ>2 ,存在有限二阶矩（有限方差）的充要条件是 γ>3 。许多具有幂律分布的网络所对应的幂指数都满足 2<γ≤3 ，这类幂律分布具有有限均值，但是没有有限方差。

按照这样的说法，一般认为只有幂指数较小（如 γ≤3 ）的幂律网络才是非均质网络，因为当幂指数 γ>3 时幂律分布是存在有限方差的。另外一方面，如果按照数学上无标度性质的定义（下面的定理3-1），那么无标度网络就是幂律网络，也确实有很多文献把二者等价的。但是，如果认为无标度网络是指节点的度没有明显的特征标度的网络，那么无标度网络应该是与非均质网络等价的提法，因此，只有幂指数较小的幂律网络才是无标度网络。

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三、标度不变性（scale invariance）

幂律分布的期望和方差让人意外，它还有一个让人意外特征，被称为标度不变性。

形象地说，就像用一个放大镜观察这个分布，无论看什么细节，放大多少倍数，所得到的性质是一样的，这种现象被称为无特征尺度，而正态分布是有的，必须整体上看是一个钟的形状，放大任何局部都不会得到钟形的图案。

这还可以用马上会讲到的帕累托80/20法则来说，80/20法则说20%的人口掌握了80%的财富。而在这个掌握的80%财富的的20%人口中，又有20%掌握了其中的80%，而在穷人部分随便划出一部分，也会发现20%的较为富有的占有了这部分穷人总财富的80%。当看任何财富的区间，都会有同样的规律，这个规律和所划定的区间无关。

同样，《网络科学导论》P112中也有一个定理来描述该性质。

定理3-1 考虑一个概率分布函数 f(x) ，假设 f(1)f'(1)≠0。如果对任意给定常数a，存在常数b使得函数 f(x) 满足如下“无标度条件”：

f(ax) = bf(x)，

那么必有

f(x) = f(1)x^-γ ， γ = -f'(1)/f(1),

也就是说，幂律分布函数是唯一满足无标度条件的概率分布函数。

从函数构造的角度来解释，当因变量x比例缩放时，自变量幂函数本身会比例的标度缩放，即f(ax)=bf(x)， 因此，每个幂指数对应的幂律函数都只是其他情况的缩放而已。

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四、总结

在《网络科学导论》中定理3-1描述的是无标度性质，或许这也更加说明了scale-free 和 scale invariant 表达的是同一定义。实际上在早于复杂网络的研究之前统计物理学界里scale-free和 scale invariant就常常混着用了。

在复杂网络的研究当中，scale-free就比较特指幂率分布的'scale-free network'。可能是因为最早Barabasi & Albert 的文章中使用了'scale-free network'的命名。而'scale invariant' 就泛指scale invariance这一个更加大的概念了。

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参考文献

无标度（scale-free）与标度不变性（scale invariance）概念辨析_teengad的博客-CSDN博客_无标度是什么意思

解读幂律分布与无标度网络 | 长文综述 | 集智俱乐部 (swarma.org)

Emergence of Scaling in Random Networks | Science

《网络科学导论》——高等教育出版社