姿态变换及坐标变换

目录

  • 0. 空见间变换&基变换
    • 0.0 空间变换
    • 0.1 基变换
  • 1.缩放、旋转、平移
  • 机器人齐次变换
    • 坐标系变换

0. 空见间变换&基变换

这是矩阵分析的相关知识,有兴趣的参考第一篇知乎文章[1].

0.0 空间变换

空间变换是指在同一组绝对基下的变换,可以想象为世界空间
解读 B=MA:矩阵乘法是一种空间变换
(1)M把A所在的空间的基进行了变换,因此A也进行了变换
(2)M把基(i, j)映射成了(u, v),当前向量在基(u, v)下表示的位置,记为变换结果

0.1 基变换

基变换涉及到多个基,因此研究向量、变换都需要说明在什么基向量下进行的
注意:
(1)空间中同一个点,在不同基下的坐标是不一样的

向量的基转换

(1)假设基(i, j)到基(u, v)基的变换矩阵为P, 则基(u, v)下的向量x到基(i, j)下,转化计算为Px
(2)同样,已知(i, j)在基(u, v)的表示,记为Q,Q就是基(i, j)下的向量x到基(i, j)下
转换矩阵为Q。(i, j)基下的x转化到(u,v 记为)Qx
总结:变换矩阵P在当前基下表示了另外一组基,则P表示另外一组基到当前基的变换矩阵, ij基用P表示uv基, P代表如何从uv基过渡到ij基

1.缩放、旋转、平移

2022-11-13 灵感:(自身到另外一位置)这些操作都是在自身参考系完成的,即以自我为中心,所以都是以SRT(缩放scale,旋转rotation,平移translation)顺序完成姿态的转换。

参考:[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/69069183

机器人齐次变换

坐标系变换

前提: 现在可以用n阶矩阵描述机器人当前位置作为参考系为T1,当前位置所观察目标为P1(仅坐标)

题目:机器人T1位置(3阶矩阵)观察到目标P1(坐标),现在机器人运动到T2位置,试问目标P1在T2位置的坐标为多少。
step1:设T1到T2基变换的过渡矩阵为M,即满足 T 2 = T 1 ∗ M T_2=T_1*M T2=T1M,由此计算得出过渡矩阵 M = T 1 − 1 ∗ T 2 M=T_1^{-1}*T_2 M=T11T2
setp2:已知目标在 T 1 T_1 T1 下为 P 1 P_1 P1,再由基过渡矩阵与坐标变换关系得出,此时T2坐标系下目标为: P 2 = M − 1 ∗ P 1 = T 2 − 1 ∗ T 1 ∗ P 1 P_2=M^{-1} * P_1 = T_2^{-1} * T_1 * P_1 P2=M1P1=T21T1P1

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