高中奥数 2022-01-13

2022-01-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 周期数列 P048 例1）

设、是两个给定的正实数,数列满足, .求的值.

解

为计算方便,令,则

直接计算可得下表:

001.PNG

所以,是一个以5为周期的纯周期数列,对应地,也是.故.

说明

题中所给递推关系式是一种特殊形式的Lyness方程,这里通过直接计算来确定周期的方法对付分式递推(具有周期性的)数列是直接而有效的手段.

2022-01-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 周期数列 P048 例2）

已知,数列满足

并且.问:满足条件的数列有多少个?

解

注意到,当确定后,数列是唯一确定的,故问题可转为求的不同取值情况的个数.

利用二进制来处理,将用二进制表示,设,如果,那么,此时;如果,那么,此时.这表明:当时,总有(相当于将二进制表示下的小数点后第一位“吃掉了”).

现在,设,那么由上述讨论可知,结合得是一个二进制下的循环小数,即,其中是二进制表示下的一个非负整数(注意不全为1).

综上可知,共有种不同的可能取值(每个数均可取0或1,但不能全部取1),相应的不同数列共31个.

说明这里利用二进制表示将递推式变为规律性更强的式子,然后结合数列的周期性掌控数列的结构.本质上而言是做了一个对应.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 周期数列 P049 例3）

设是一个整系数多项式,数列依如下方式定义

证明:若是一个纯周期数列,则其最小正周期不大于2.

证明

问题可转化为证明:若存在,使得,则或中有一个等于0.

利用因式定理,由于为整系数多项式,可知对、,都有.

现令,由上述结论及数列的定义可知(注意,这里若,则有).

因为,故,所以.

如果,那么,命题已成立;否则,结合,, ,,可得.

注意到

因此中有一半为正整数,另一半为负整数,从而,存在,使得,得,依的定义知,对,都有.取,就有

即有.

所以,命题成立.