2023 年第八届数维杯数学建模挑战赛 赛题浅析

为了更好地让大家本次数维杯比赛选题，我将对本次比赛的题目进行简要浅析。本次比赛的选题中，研究生、本科组请从A、B题中任选一个 完成答卷，专科组请从B、C题中任选一个完成答卷。这也暗示了本次比赛的难度为A>B>C

选题人数初步估计也是B>C>A

下面给大家带来每个问题简要的分析，以方便大家提前选好题目。

A 题 河流-地下水系统水体污染研究

该问题，初步来看属于物理方程类题目，难度较大。需要我们通过查阅相关文献和资料，分析并建立河流-地下水系统中有机污染物的对流、弥散及吸附作用的数学模型 。通过简单的查阅资料（其中公式为latex输入语言，大家看不懂的，可以直接看图片）

河流-地下水系统中有机污染物的对流、弥散及吸附作用的数学模型可以参考以下公式：

$$\frac{\partial C}{\partial t}+\nabla\cdot(\mathbf{v}C)=D\nabla^2C-\lambda C+R$$

其中，$C$是有机污染物的浓度，$\mathbf{v}$是地下水的速度，$D$是水动力弥散系数，$\lambda$是有机污染物的降解速率，$R$是有机污染物的源项或汇项。

对于吸附作用，可以采用双模式吸附模型，即：

$$S=\frac{K_dC}{1+bC}+\frac{S_0bC}{1+bC}$$

其中，$S$是沉积物上的吸附量，$K_d$是线性吸附系数，$S_0$是最大吸附容量，$b$是吸附表面亲和性常数。

对于阻滞作用，可以采用阻滞系数（R）来表示，即：

$$R=\frac{1}{1+\rho_b\frac{dS}{dC}}$$

其中，$\rho_b$是沉积物的密度。

整体来看，难度较大，需要有较好的数学能力或者物理能力。问题二三将会后续问题分析中进行讲解。

B 题 节能列车运行控制优化策略

对于问题B问题一也是于A题相同，类似于物理微分方程模型，要解决这个问题，我们可以采用数值积分的方法，将列车在运行过程中的运动学方程和牵引力、制动力、阻力之间的关系相结合。以下是一个简单的 Python 程序，（要是大家有需要，我也可以编写对应的matlab代码）用于计算列车的运动学参数和能量消耗

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
m = 176.3 * 1000      # Mass of the train (kg)
p = 1.08              # Rotational mass factor
v_max = 100 / 3.6     # Maximum velocity (m/s)
f_davis = lambda v: 2.0895 + 0.0098*v + 0.006*v**2  # Davis resistance equation
F_max = 310 * 1000    # Maximum traction force (N)
B_max = 760 * 1000    # Maximum braking force (N)
L = 5144.7            # Distance between A and B (m)
delta_t = 0.01        # Time step (s)

# Initial conditions
x = 0                 # Initial position (m)
v = 0                 # Initial velocity (m/s)
t = 0                 # Initial time (s)
E_kin = 0             # Initial kinetic energy (J)
E_pot = 0             # Initial potential energy (J)
E_loss = 0            # Initial energy loss (J)

# Arrays for storing results
x_array = []
v_array = []
t_array = []
F_array = []
E_array = []

# Simulation loop
while x < L:
    # Calculate acceleration
    F_net = F_max if x < L/2 else -B_max  # Traction force or braking force
    F_resist = f_davis(v)                # Resistance force
    a = (F_net - F_resist) / (m + p*v*v)
    # Calculate velocity and position
    v += a * delta_t
    x += v * delta_t
    t += delta_t
    # Store results
    x_array.append(x)
    v_array.append(v)
    t_array.append(t)
    F_array.append(F_net if F_net > 0 else -F_resist)  # Store positive force (traction) or negative force (braking)
    # Calculate energy
    E_kin = 0.5 * m * v**2
    E_pot = m * 9.8 * x
    E_loss += abs(F_resist * v * delta_t)  # Accumulate energy loss
    E_array.append(E_kin + E_pot - E_loss)

# Plot results
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
axs[0, 0].plot(x_array, v_array)
axs[0, 0].set_xlabel("Distance (m)")
axs[0, 0].set_ylabel("Velocity (m/s)")
axs[0, 1].plot(x_array, F_array)
axs[0, 1].set_xlabel("Distance (m)")
axs[0, 1].set_ylabel("Force (N)")
axs[1, 0].plot(x_array, t_array)
axs[1, 0].set_xlabel("Distance (m)")
axs[1, 0].set_ylabel("Time (s)")
axs[1, 1].plot(x_array, E_array)
axs[1, 1].set

在这种情况下，需要进一步考虑列车行驶过程中的各种因素，比如不同路段的限速和坡度、列车电机的动态特性以及储能装置的运用等等，以构建更加准确的模型。具体的建模过程需要综合考虑物理、数学、机械和电气等学科的知识，并采用合适的软件工具进行仿真和分析。

建模过程中需要考虑的因素很多，例如列车的动力学特性、牵引系统和制动系统的控制策略、能量管理系统等。在具体建模时，需要确定模型的输入和输出，以及各个子系统之间的关系，进而确定模型的结构和参数。同时，还需要考虑模型的有效性和可靠性，对模型进行验证和测试，以确保其能够准确地反映实际情况。

总的来说，建立列车运行模型是一个复杂的过程，需要充分考虑各种因素，采用合适的建模方法和软件工具，进行仿真和分析。同时，需要对模型进行验证和测试，以确保其能够准确地反映实际情况，并为实际应用提供有效的支持。

或者，我们也可以使用

根据搜索结果，列车运行建模方法可以分为以下几个步骤：利用Simulink或其他工具搭建列车运行的仿真模型，可以参考MATLAB提供的Powertrain Blockset和Vehicle Dynamics Blockset工具箱，或者使用专业软件如CarMaker、CarSim等。

设计列车运行的速度控制算法，根据列车的运行状态、线路参数、限速条件等信息，自动调整牵引/制动力，使列车沿最优速度-距离曲线运行。

通过仿真实验验证列车运行的速度控制效果，绘制速度-距离曲线、牵引制动力-距离曲线、时间-距离曲线与能量消耗-距离曲线等图形，分析列车运行的安全性、准时性、舒适性和经济性¹⁴。

程序的运行时间取决于仿真模型的复杂度、控制算法的效率、计算机的性能等因素，无法一概而论。需要获取不同到达时间的曲线时，可以通过调整控制算法中的参数或目标函数来实现。

 

C 题 宫内节育器的生产

C题为本次比赛最简单的一道题目，可惜选题受限。下面主要讲解一下各问解题思路。

问题一，分析两个医院的临床数据有无显著性差异，即进行显著性分析，相应的SPSS、matlab 、python各个软件都是可以实现的。

import pandas as pd
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 读取数据
data = pd.read_csv('data.csv')

# 计算相关系数和P值
corr_matrix = data.corr()
p_matrix = np.zeros(corr_matrix.shape)
for i in range(corr_matrix.shape[0]):
    for j in range(corr_matrix.shape[1]):
        pearson_coef, p_value = stats.pearsonr(data.iloc[:, i], data.iloc[:, j])
        p_matrix[i, j] = p_value

# 显示相关系数矩阵和P值矩阵
print("Correlation Matrix:")
print(corr_matrix)
print("P-Value Matrix:")
print(p_matrix)

# 进行显著性检验
threshold = 0.05  # 设置显著性水平
sig_matrix = p_matrix < threshold  # 判断P值是否小于显著性水平
print("Significant Matrix:")
print(sig_matrix)

这里只考虑了相关性的显著性检验，实际上显著性分析还可以涉及到多元回归分析、方差分析、卡方检验等方法。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的显著性检验方法，并使用相应的工具库进行分析。

问题二、分析受试者的身体指标与随访主诉情况的联系，典型的关联性分析。根据情况选择合适的方法即可。

问题三、分析 VCu260 与 VCu380 记忆型宫内节育器的质量哪个更优。可以理解为优化模型，设置0-1变量为决策变量对最优节育器进行求解，也可以建立综合评价模型，具体选择因对而异。