量化投资 布朗运动和 Black Sholes 模型

量化投资 布朗运动和 Black Sholes 模型

布朗运动 Brownian Motion

定义

布朗运动 Brownian Motion：定义在概率测度空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的实值随机过程 $\{B_t{\}}_{t\in T}$ 称为布朗运动，若满足：

• $B_0=0$ ，$\mathbb{P}$-a.s.；
• $\{B_t{\}}_{t\in T}$ 具有平稳独立增量；
• 对于 $\forall t>s\ge 0$ ，都有 $B_t-B_s\stackrel{\text{dist}}{\sim }N(0,t-s)$ ；

第三点正态分布可以被弱化为：

• 对于 $\forall t>s\ge 0$ ，都有 $\mathbb{E}[B_t|{\mathcal{F}}_s]=B_s$ 且 $Var[B_t-B_s|{\mathcal{F}}_s]=t-s$ ；

此时称为 Wiener 过程，可以证明 Wierner 过程和布朗运动是等价的。

（可以考虑把 $t-s$ 分成无限多小段，然后用中心极限定理）

性质

① $t\to B_t(\omega )$ 是连续但处处不可微的函数；

② 布朗运动具有无限变差和有限二次变差，即对于任意时间区间 $[0,t]$ 和样本路径 $\omega$ ，都有：
$$\begin{array}{r}\mathbb{P}-\underset{\max |\Delta t_i|\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^n{\left[B_{t_{i+1}}(\omega )-B_{t_i}(\omega )\right]}^2=t\\ \mathbb{P}-\underset{\max |\Delta t_i|\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^n\left|B_{t_{i+1}}(\omega )-B_{t_i}(\omega )\right|=\infty \end{array}$$
其中 $0=t_0<t_1<\cdots <t_n=t$ 是区间的任意有限划分。

证明在我的另一个专门讲 随机过程 布朗运动 的博客里有~

生成布朗运动

有两种方法可以产生布朗运动：

Approach 1：令 $\{{\xi }_i\}$ 为一列独立同分布的、具有 0 均值和单位标准差的随机变量。记 $S_n=\sum _{i=0}^n{\xi }_i$ ，则由中心极限定理可知，$\frac{S_n}{\sqrt{n}}\stackrel{\text{dist}}{\sim }N(0,1)$ 。对于 $\forall t>0$ ，令：
$$B_n(t)=\frac{S_{[nt]}}{\sqrt{t}}\stackrel{\text{dist}}{\to }N(0,t)$$
该方法比较繁琐，对于每个时刻需要采样更多的 ${\xi }_i$ ，且得到的图像的时刻是离散的 。

Approach 2：令 $\{Z_m{\}}_{m=0}^{\infty }$ 是独立同分布的、服从标准正态分布的随机变量序列。令：
$$B(t)=\frac{t}{\sqrt{\pi }}{Z}_0+\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }\frac{\sin mt}{m}{Z}_m\stackrel{\text{dist}}{\to }N(0,t)$$
该方法生成的图像是连续的，对 $\{Z_m{\}}_{m=0}^{\infty }$ 的一次采样相当于选择了一个样本路径 $\omega$ 。要证明其为标准布朗运动， 只需要验证其是否服从正态分布。我们用特征函数来验证：
$${\Theta }_B(s)=E[{\mathrm{e}}^{-sB(t)}]=E[{\mathrm{e}}^{-\frac{st}{\sqrt{\pi }}{Z}_0}]\cdot \prod _{m=1}^{\infty }E[{\mathrm{e}}^{-s\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin mt}{m}{Z}_m}]$$
正态分布的特征函数为：
$${\Theta }_N(s)={\mathrm{e}}^{-s\mu -\frac{1}{2}{s}^2{\sigma }^2}$$
则：
$$E[{\mathrm{e}}^{-\frac{st}{\sqrt{\pi }}{Z}_0}]={\mathrm{e}}^{-\frac{s^2}{\pi }\frac{t^2}{2}}$$

$$E[{\mathrm{e}}^{-s\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin mt}{m}{Z}_m}]={\mathrm{e}}^{-\frac{s^2}{\pi }\frac{{\sin }^{2}mt}{m^2}}$$

则：
$${\Theta }_B(s)={\mathrm{e}}^{-\frac{s^2}{\pi }\frac{t^2}{2}-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{s^2}{\pi }\frac{{\sin }^{2}mt}{m^2}}={\mathrm{e}}^{-\frac{s^2}{\pi }(\frac{t^2}{2}+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}mt}{m^2})}$$
已知级数：
$$\sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}mt}{m^2}=\frac{\pi t}{2}-\frac{t^2}{2},t\in [0,\pi ]$$
因此：
$${\Theta }_B(s)=e^{-\frac{1}{2}{s}^{2}t}$$
即 $B(t)\sim N(0,t)$ ，证毕。

止盈止亏问题 Gambler’s Ruin Problem

带漂移的布朗运动： $x_t=x+\mu t+\sigma B_t$ ，有：
$$P\{x_t\le y|x_0=x\}=P\{B_t\le \frac{y-x-\mu t}{\sigma }|B_0=0\}=\Phi (\frac{y-x-\mu t}{\sigma \sqrt{t}})$$
还满足以下性质：

• $E[x_t]=x+\mu t$ ；
• $Var[x_t]={\sigma }^{2}t$ ；
• $E\left[(x_t-x{)}^2\right]={\sigma }^{2}t+{\mu }^2{t}^2={\sigma }^{2}t+o(t)$ ；
• $E\left[(x_t-x{)}^n\right]=o(t)$ ，$n>2$；

其中：
$$E\left[(x_t-x{)}^2\right]=E[{\mu }^2{t}^2+{\sigma }^2{B}_t^2+2\mu t\sigma B_t]={\sigma }^{2}t+{\mu }^2{t}^2$$
止盈止亏问题 Gambler’s Ruin Problem：刚开始时手上持有一些股票，股票初始价格为 $x_0=x\in (a,b)$ ，当价格上升到 $b$ 或下降到 $a$ 时就平仓。

若股票价格服从带漂移的布朗运动，则记平仓随机停时为：
$${\tau }_{ab}=\inf \{t\ge 0,\text{s.t.}{x}_t=a\text{ or }b\}$$
止盈概率：我们想要计算赚钱的概率，即价格在到达 a 之前首先到达 b 的概率：
$$f(x)=P\{x_{{\tau }_{ab}}=b|x_0=x\}$$
对于一段很小的时间 $\Delta$ ，首先到达 b 的概率几乎不变：
$$f(x+\Delta x)=P\{x_{{\tau }_{ab}}=b|x_{\Delta }=x+\Delta x\}$$
则：
$$
\begin{align}
f(x)=&, E[f(x+\Delta x),|,x_0=x] \
=&, E[f(x)+f’(x)\Delta x+\frac{1}{2}f’'(x)(\Delta x)^2+o(\Delta x)^2,|,x_0=x]

\end{align}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 15: 由带漂移的布朗运动性质得，$̲E[\Delta x]=E[x…
f(x)=f(x)+f’(x)\mu\Delta+\frac{1}{2}f’‘(x)\sigma^2\Delta+o(\Delta)
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 7: 得到关于 $̲f(\cdot)$ 的常微分方…
\left{
\begin{array}{ll}
f’(x)\mu+\frac{1}{2}f’'(x)\sigma^2=0 & x\in(a,,b) \
f(a)=0,\quad f(b)=1
\end{array}
\right.
$$解得：$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-\frac{2\mu x}{\sigma^{2}}-\mathrm{e}}{-\frac{2\mu a}{\sigma^{2}}}{\mathrm{e}}{-\frac{2\mu b}{\sigma^{2}}-\mathrm{e}}{-\frac{2\mu a}{\sigma^2}}} ,\in,(0,,1)
$$
我们可以观察到：

• 若 $\mu >0$ ，则：
  • 当 $a\to -\infty$ 时，$f(x)=1$ ，即在有限时间内，股票价格一定会上涨到 $b$ ；
  • 当 $b\to +\infty$ 时，$f(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\frac{2\mu }{{\sigma }^2}(x-a)}$ 是永远不会到达 $a$ 的概率；
• 若 $\mu <0$ ，则当 $a\to -\infty$ 时， $f(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{2\mu }{{\sigma }^2}(x-b)}$ 是有限时间内价格到达 $b$ 的概率；

持有时间 Holding time：记退出时间为 $V(x)$ ，用跟上面一样的技巧得到：
$$\begin{array}{rl}V(x)=& E[{\tau }_{ab}|x_0=x]\\ V(x+\Delta x)=& E[{\tau }_{ab}-\Delta |x+\Delta x]\end{array}$$
有：
$$\begin{array}{rl}V(x)=& \Delta +E[V(x+\Delta x)|x_0=x]\\ =& V(x)+(1+V^{\prime }(x)\mu )\Delta +\frac{1}{2}{V}^{\prime \prime }(x){\sigma }^2\Delta +o(\Delta )\end{array}$$
得到 关于 $V(\cdot )$ 的 ODE：
$$\{\begin{array}{ll}\mu V^{\prime }(x)+\frac{1}{2}{\sigma }^2{V}^{\prime \prime }(x)+1=0& x\in (a,b)\\ V(a)=0,V(b)=0& \end{array}$$
解得：
$$V(x)=\frac{1}{mu}(f(x)(b-a)-x+a)$$
我们可以观察到，当 $a\to 0$ ，$\mu =0$ ，$V(x)=\frac{x(b-x)}{{\sigma }^2}$ ，最大值为 $x=\frac{b}{2}$ 时取到。

几何布朗运动：满足：
$$x_t=x_0{\mathrm{e}}^{(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma B_t}$$
此时有：

• $E[x_t]=x_0{\mathrm{e}}^{\mu \mathrm{t}}$ ；
• $Var[e_t]=x_0^2{\mathrm{e}}^{2\mu t}[{\mathrm{e}}^{{\sigma }^{2}t}-1]$ ；

有：
$$
\begin{align}
E[x_t]=x_0\mathrm{e}^{{(\mu-\frac{1}{2}\sigma}2)t}E[e^{\sigma B_t}]

\end{align}
$$使用正态分布的特征函数进行计算，得到：$$
E[x_t]=x_0\mathrm{e}^{{(\mu-\frac{1}{2}\sigma}2)t} \times \mathrm{e}^{{\frac{1}{2}\sigma}2t}=x_0\mathrm{e}^{\mu t}
$$
因此 $\mu$ 的含义为 $x_t$ 的连续时间增长率。方差的计算方法类似，也需要使用特征函数进行计算。

可以将 $\ln x_t$ 看作带漂移的布朗运动，代入上边的公式，可以得到：
$$P\{x_{{\tau }_{A,B}}=B|x_0\}=\frac{x_0^{1-2\mu /{\sigma }^2}-A^{1-2\mu /{\sigma }^2}}{B^{1-2\mu /{\sigma }^2}-A^{1-2\mu /{\sigma }^2}}$$

Black-Sholes 期权定价公式

公式推导

我们假定股票价格 $\{S_t\}$ 服从以下几何布朗运动：
$$S_t=S_0\exp \left\{\left(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)t+\sigma B_t\right\}$$
改写为：
$$S_t=S_0\exp \left\{\left(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)t+\sigma \left(B_t+\frac{\mu -r}{\sigma }t\right)\right\}$$
令 $B_t^{\ast }=B_t+\frac{\mu -r}{\sigma }t$ ，考虑以下概率测度变换：
$${\xi }_t\equiv \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=\exp \left\{-\frac{\mu -r}{\sigma }{B}_t-\frac{1}{2}{\left(\frac{\mu -r}{\sigma }\right)}^{2}t\right\}$$
可以算出来 $E_{\mathbb{P}}[{\xi }_t]=1$ 且 ${\xi }_t>0$ 。

在风险中性概率测度 $\mathbb{Q}$ 下有：
$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}[{\mathrm{e}}^{-s{B}_t^{\ast }}]=& {\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[{\xi }_t{\mathrm{e}}^{-s{B}_t^{\ast }}]\\ =& {\mathrm{e}}^{-\left(\frac{\mu -r}{\sigma }\right)t\left(s+\frac{1}{2}\frac{\mu -r}{\sigma }\right)}{\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[{\mathrm{e}}^{-\left(\frac{\mu -r}{\sigma }+s\right)B_t}]\\ =& {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}{s}^{2}t}\end{array}$$
因此 $B_t^{\ast }$ 在风险中性概率测度 $\mathbb{Q}$ 下服从标准布朗运动，股票价格可以写成：
$$S_t=S_0\exp \left\{\left(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)t+\sigma B_t^{\ast }\right\}$$
考虑在该股票上的欧式看涨期权（无 dividend），根据无套利理论，期权的定价为风险中性概率测度下未来期望收益的贴现值，即：
$$C_0={\mathrm{e}}^{-rT}{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}[(S_T-X{)}^{+}]$$
其中：

• $r$ 为无风险连续复利率；
• $T$ 为到期日；
• $X$ 为行权价格；

我们有
$$\begin{array}{rl}& S_t=S_0{\mathrm{e}}^{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma B_t^{\ast }}=S_0{\mathrm{e}}^{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma \sqrt{t}Z}>X\\ \Rightarrow & Z>\frac{\ln X/S_0-(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)t}{\sigma \sqrt{t}}=-d_2\end{array}$$
其中 $Z\sim N(0,1)$ ， $f(x)$ 为标准正态分布的概率密度函数，则：
$$\begin{array}{rl}{C}_0=& {\mathrm{e}}^{-rt}{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}\left[(S_t-X{)}^{+}\right]\\ =& {\mathrm{e}}^{-rt}{\int }_{-d2}^{\infty }(S_t-X)f(z)dz\\ =& {\mathrm{e}}^{-rt}{\int }_{-d2}^{\infty }{S}_{t}f(z)dz-X{\mathrm{e}}^{-rt}N(d_2)\end{array}$$
其中 $N(\cdot )$ 为标准正态分布的分布函数。上式右边第一项可变为：
$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{e}}^{-rt}{\int }_{-d2}^{\infty }{S}_{t}f(z)dz\\ =& S_0{\mathrm{e}}^{-rt}{\int }_{-d2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma \sqrt{t}z}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{z}^2}dz\\ =& S_0{\int }_{-d2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}(z-\sigma \sqrt{t}{)}^2}dz\end{array}$$
令 $d_1=d_2+\sigma \sqrt{t}=\frac{\ln S_0/X-(r+\frac{1}{2}{\sigma }^2)t}{\sigma \sqrt{t}}$ ， $u=z-\sigma \sqrt{t}$ ，则：
$$=S_0{\int }_{-d1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{u}^2}du=S_{0}N(d_1)$$
所以该公式的解析解为：
$$\begin{array}{rl}{C}_0=& {\mathrm{e}}^{-rT}{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}[(S_T-X{)}^{+}]\\ =& S_{0}N(d_1)-X{\mathrm{e}}^{-rT}N(d_2)\end{array}$$
其中：（$d_1$ 对应+，$d_2$ 对应-）
$$d_{1,2}=\frac{\ln S_0/X+(r\pm {\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$$

Put-Call Parity

同样地，可以得到欧式看跌期权的定价为：
$$\begin{array}{rl}{P}_0=& {\mathrm{e}}^{-rT}{\mathbb{E}}_{\mathbb{Q}}[(X-S_T{)}^{+}]\\ =& X{\mathrm{e}}^{-rT}N(-d_2)-S_{0}N(-d_1)\end{array}$$
由正态分布的性质可得，$N(d_i)+N(-d_i)=1$ ，因此有 Put-Call Parity：
$$P_0+S_0=C_0+X{\mathrm{e}}^{-rT}$$

• 若有 dividend，则会造成标的股票的升值， 从而使得等式左边大于右边。一般考虑以 $S_0$ 作为股息调整价格，例如有单次分红的话：

$$P_0+S_0-D{\mathrm{e}}^{-r\tau }=C_0+X{\mathrm{e}}^{-rT}$$

• 由于美式期权可以提前行权，所以 Put-Call Parity 一般不成立，但可以得到不等式：

$$S_0-X\le C_0-P_0\le S_0-X{\mathrm{e}}^{-rT}$$