计算机常用数理基础知识

1.大数定律和中心极限定理

中心极限定理：大量随机变量近似服从正态分布的条件。

大数定律：大数定律讨论的是在什么条件下，随机变量序列的算术平均依概率收敛到其均值的算术平均。

大数定理：切比雪夫、辛钦定律、泊松大数定律。

2.零点定理

 零点定理：函数在闭区域连续，如果端点处取值乘积小于零，则在区域之内，存在一个点的函数值为零，即f(ε)=0。

 3.似然函数

参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值

求最大似然函数估计值的一般步骤：

（1） 写出似然函数

（2） 对似然函数取对数，并整理

（3） 求导数

（4） 解似然方程

4. 特征值与特征向量

矩阵A与某个非零向量相乘的结果与数x与该向量的结果相同，则称数x为矩阵A的特征值， x成为矩阵的特征向量。

矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。

5. 方向导数

在函数定义域内的点，对某一方向求导得到的导数。

6.离散分布与连续型分布

离散分布：0-1分布、二项分布、泊松分布。

连续型分布：均匀分布、指数分布、正态分布。

7. 先验概率与后验概率

先验概率：分析以往的数据分析得到概率。

后验概率：得到信息之后再重新加以修正。

8. 非齐次微分方程的求解

非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次微分方程特解。 

9. 麦克斯韦方程组

描述静电的高斯电场定律：电场的散度与这点的电荷密度成正比。

描述静磁的高斯磁场定律：磁场的散度处处为0。

描述磁生电的法拉第定律：感生电场的旋度等于磁感应强度的变化率。

描述电生磁的安培-麦克斯韦定律：感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度变化率之和。

10. 系统分类

连续系统与离散系统：

输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统；输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。

连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。

动态系统与即时系统：

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统；含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统，否则称即时系统或无记忆系统。

线性系统与非线性系统：

能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件；不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。

时不变系统与时变系统：满足时不变性质的系统称为时不变系统。

时不变性质:若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间。

11. 进制转换

任何进制转十进制：按权展开，相加即可。

十进制转换为任意进制：整数部分：除基数R取余；小数部分: 乘基数R取整。

12. 组合逻辑与时序逻辑

组合逻辑：输出只是当前输入逻辑电平的函数（有延时），与电路的原始状态无关。当前电路输入信号任何一个发生改变，输出都将发生改变。

时序逻辑：输出不仅是当前输入电平的函数，还与目前电路的状态有关。

13.正负逻辑

正逻辑:高电平为逻辑"1",低电平为逻辑"0"。

负逻辑:低电平为逻辑"1",高电平为逻辑"0"。

14. 三大变换

傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。

拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换不适用于指数级增长的函数，而拉氏变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅立叶变换，把频域推广到复频域，能分析的信号更广。

Z变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z变换就是专门分析数字信号，Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。

傅立叶变换是把时域数学模型变成频域数学模型进行分析。

拉普拉斯变换是把时域中的积分－微分方程变换成S域中的代数方程式。

15. 梯度 散度 旋度

梯度（向量）：函数变化增加最快的地方。

散度（数）：可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度。物理意义：向量场中某一点的单位体积流出的量。

旋度（向量）：可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。物理意义：表示该向量场在某点的旋转向量。

16.矩阵关系

17. 矩阵的秩

设A为m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，r阶以上子式均等于0，则称矩阵A的秩为r，记为r(A)。 

18.随机变量

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种随机变量不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。 

19.概率密度函数

积分值为1对应于取各个值的概率之和为1。 

 20.格林公式、高斯公式与斯托克斯公式的理解

格林公式：构建曲线积分和曲面积分的关系 （二维平面）。

说明一条封闭曲线的线积分与其所围成的区域的面积分的关系。

可以通过线积分来计算封闭区域的面积。

高斯（散度定理）公式：构建了三维体积分和闭合曲面积分之间的关系。

把一个向量场通过闭合曲面的流通量与曲面内部的向量场的表现联系。

斯托克斯公式：构建的是面积分和闭合曲线之间的关系（曲面可以不闭合）（三维空间）。 

21. 线性相关

22.矩阵相似 

1. 根据定义：存在矩阵p，使得p-1AP=B 则称A与B相似；
2. 根据性质，秩相同、行列式相同、迹相同、特征值相同，则称这两个矩阵相似。

23.递归

递归，就是在运行的过程中调用自己。

递归的调用主要有两点：

1. 子问题需要与原始问题具有相同的结构；
2. 要为问题的调用设置出口，即终止条件。

24. 二叉树

二叉树的第i层最多由2^(i-1)个结点；

深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点；

具有n个结点的完全二叉树的深度为 [log₂n]+1。

二叉树的遍历：先序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

先序遍历：遍历结点时遵循“根左右”的顺序；

中序遍历：遍历结点时遵循“左根右”的顺序；

后序遍历：遍历结点时遵循“左右根”的顺序。

实现方法都是借助递归的思想，结点的遍历处理的位置不同。

层次遍历：bfs思想

简历一个队列，先将二叉树头结点入队列，再将头结点的左、右节点入队列，此时头节点就可以出队列遍历，然后重复上面的操作直到队头和队尾为空，这就是层次遍历。

顺序存储：

 二叉树的顺序存储结构中节点的存放次序是：对该树中每个节点进行编号，其编号从小到大的顺序就是节点存放在连续存储单元的先后次序。

链式存储：

基于指针的链式存储，每个树的节点都是由数据域和两个指针域组成的。数据域用来存储数据，指针域用来存储左右两个子节点。

25.堆栈与队列

堆栈就是栈，最后放进堆栈的数据最先被取出来，即后进先出特性。

递归问题可以转化为使用堆栈结构的非递归过程。

栈的存储方式：

顺序栈：它利用一组地址连续的存储单元存放自栈底到栈顶的数据元素，同时附设一个指针（top）指示当前栈顶元素的位置。

链栈：采用链式存储的栈称为链栈，链栈的优点是便于多个栈共享存储空间和提高其效率，且不存在栈满上溢的情况。通常采用单链表实现，并规定所有操作都是在单链表的表头进行的。

 队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表，具有先进先出特性。

队列的存储方式：

顺序存储，定义一位数组，附设两个指针：队头指针 front指向队头元素，队尾指针 rear 指向队尾元素的下一个位置。

链式存储，利用一个线性链表来表示队列，队列中的每一个元素对应一个链结点。

 26.顺序表与链表

线性表中的数据元素的关系都是一对一关系。

顺序表与链表都属于线性表。

二者主要区别在于：

顺序表一般表现为数组，使用一组地址连续的存储单元依次存储数据元素。但长度比较固定，存储空间需要连续。支持随机存取。

链表长度不固定，一次开辟一个结点的空间，用来存储当前要保存的数据及指向下一个结点或NULL的指针，所以单链表的空间大小时动态变化的。不能支持随机存取，必须进行整体遍历。

27.最小二乘法

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。