【离散数学】gpt教我学数学2
对于给定的A、B和f，判断f是否为从A到B的函数：f：A→B.如果是，说明f是否为单射、满射、双射的.
A=B=R笛卡尔积R，f(
对于给定的集合 A = B = R × R A=B=\mathbb{R}\times\mathbb{R} A=B=R×R 和函数 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B， f ( ⟨ x , y ⟩ ) = ⟨ y + 1 , x + 1 ⟩ f(\langle x,y\rangle)=\langle y+1,x+1\rangle f(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩，我们需要判断 f f f 是否为从 A A A 到 B B B 的函数，以及 f f f 是否为单射、满射、双射。
首先需要检查 f f f 是否满足函数的定义：
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对于任意 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A， f f f 都将 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y\rangle ⟨x,y⟩ 映射到 B B B 中的某个元素 ⟨ u , v ⟩ ∈ B \langle u,v\rangle\in B ⟨u,v⟩∈B 上，即 f ( ⟨ x , y ⟩ ) = ⟨ y + 1 , x + 1 ⟩ f(\langle x,y\rangle)=\langle y+1,x+1\rangle f(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩。
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对于 A A A 中的任意两个不同元素 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ \langle x_1,y_1\rangle ⟨x1,y1⟩ 和 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ \langle x_2,y_2\rangle ⟨x2,y2⟩，它们的像 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle) f(⟨x1,y1⟩) 和 f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x2,y2⟩) 必须不同，即 f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) ≠ f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle) \neq f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x1,y1⟩)=f(⟨x2,y2⟩)。
对于条件1，显然对于任意 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A， f f f 都将 ⟨ x , y ⟩ \langle x,y\rangle ⟨x,y⟩ 映射到 B B B 中的一个有序对 ⟨ y + 1 , x + 1 ⟩ \langle y+1,x+1\rangle ⟨y+1,x+1⟩ 上，因此 f f f 是从 A A A 到 B B B 的函数。
对于条件2，如果存在 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ \langle x_1,y_1\rangle ⟨x1,y1⟩ 和 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ∈ A \langle x_2,y_2\rangle\in A ⟨x2,y2⟩∈A，使得它们不同但它们的像相同，即：
f ( ⟨ x 1 , y 1 ⟩ ) = ⟨ y 1 + 1 , x 1 + 1 ⟩ = ⟨ y 2 + 1 , x 2 + 1 ⟩ = f ( ⟨ x 2 , y 2 ⟩ ) f(\langle x_1,y_1\rangle)=\langle y_1+1,x_1+1\rangle=\langle y_2+1,x_2+1\rangle=f(\langle x_2,y_2\rangle) f(⟨x1,y1⟩)=⟨y1+1,x1+1⟩=⟨y2+1,x2+1⟩=f(⟨x2,y2⟩)
那么有：
{ y 1 + 1 = y 2 + 1 x 1 + 1 = x 2 + 1 \begin{cases} y_1+1=y_2+1\\ x_1+1=x_2+1 \end{cases} {y1+1=y2+1x1+1=x2+1
从而得到 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1=x2 和 y 1 = y 2 y_1=y_2 y1=y2，因此 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ = ⟨ x 2 , y 2 ⟩ \langle x_1,y_1\rangle=\langle x_2,y_2\rangle ⟨x1,y1⟩=⟨x2,y2⟩。因此 f f f 是单射。
接下来，我们需要判断 f f f 是否是满射或双射。
- f f f 是满射吗？
一个函数 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B 是满射，当且仅当对于任意 b ∈ B b\in B b∈B，都存在 a ∈ A a\in A a∈A 使得 f ( a ) = b f(a)=b f(a)=b。换句话说， f f f 是满射，当且仅当 B B B 中的每个元素都是 f ( A ) f(A) f(A) 中的元素。
对于本题中的函数 f f f， A = B = R × R A=B=\mathbb{R}\times\mathbb{R} A=B=R×R，因此对于任意 ⟨ u , v ⟩ ∈ B \langle u,v\rangle\in B ⟨u,v⟩∈B，只需要找到一个 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A 使得 f ( ⟨ x , y ⟩ ) = ⟨ u , v ⟩ f(\langle x,y\rangle)=\langle u,v\rangle f(⟨x,y⟩)=⟨u,v⟩ 即可。我们可以令 x = u − 1 x=u-1 x=u−1， y = v − 1 y=v-1 y=v−1，则有：
f ( ⟨ u − 1 , v − 1 ⟩ ) = ⟨ ( v − 1 ) + 1 , ( u − 1 ) + 1 ⟩ = ⟨ v , u ⟩ f(\langle u-1,v-1\rangle)=\langle (v-1)+1,(u-1)+1\rangle=\langle v,u\rangle f(⟨u−1,v−1⟩)=⟨(v−1)+1,(u−1)+1⟩=⟨v,u⟩
因此，对于任意 ⟨ u , v ⟩ ∈ B \langle u,v\rangle\in B ⟨u,v⟩∈B，都存在 ⟨ x , y ⟩ ∈ A \langle x,y\rangle\in A ⟨x,y⟩∈A 使得 f ( ⟨ x , y ⟩ ) = ⟨ u , v ⟩ f(\langle x,y\rangle)=\langle u,v\rangle f(⟨x,y⟩)=⟨u,v⟩，因此 f f f 是满射。
- f f f 是双射吗？
一个函数 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B 是双射，当且仅当它既是单射又是满射。
在本题中，由于 f f f 是单射且满射，因此它是双射。
综上所述，函数 f : R × R → R × R f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R} f:R×R→R×R， f ( ⟨ x , y ⟩ ) = ⟨ y + 1 , x + 1 ⟩ f(\langle x,y\rangle)=\langle y+1,x+1\rangle f(⟨x,y⟩)=⟨y+1,x+1⟩ 是一个从 R × R \mathbb{R}\times\mathbb{R} R×R 到 R × R \mathbb{R}\times\mathbb{R} R×R 的函数，且是双射。