读《LJIA-概率论思想》

概率论是全局观认知的理论

局部的随机性与整体的确定性，在不确定中，寻找确定的部分。

如果事情是个确定的事情，那好办。如果事情结果没有尘埃落定，怎么算？阿罗不可能定理说：用钞票投票才是最好的选择。而数学中的概率，就是解决这样的问题的而产生的学问。

需要注意的是全局观，也是有前置条件的。条件概率的使用本质是局势的变化，并且事情的发展并不是确定的，那么结果概率也会不断地变化。（如果你看过美国真人秀节目DealOrNoDeal，会有更直观的理解与感受。）

随机事件的结果，是不可预测的，但是全局观的结果确定无疑的。概率论可以解决随机问题的背后原理，就是把局部的随机性转变成整体上的确定性。它能让我们能对未来的随机事情，做出数学上确定性的判断。

概率论并不能预测世界下一秒会发生什么，而是为你刻画世界的整体确定性。从认知思维的角度上说，某一次结果的随机性的认知，是低层次的认知；而概率论是高层次的，确定性的认知方法论。

基本概念1: 随机

随机性与不确定性是不同的。

随机就是不可预测。我们说一个事情是随机的，指的是就它发生的结果不能被预测，但是知道或确定其所有可能的结果（或选项）组成的集合。而不确定性的概念更广泛，是说对结果或选项一无所知。举个例子，投篮的结果是随机，但结果只有两个选项：投中或投不中。今天出门会有什么事发生呢？不知道，这是不确定的。黑天鹅是不确定性事件，而灰犀牛是随机事件。

只有知道了全部可能的结果，才能分析它们的概率；不知道可能的结果，就没法深入研究。概率论知识研究的事件结果必须是选项可知的。

如果你可以通过问好的问题，就可以在限定条件下，将一个不确定问题转换成随机问题。然后，通过概率去研究这个问题。

在现实生活中，我们遇到各种问题基本上是效果随机，而不是真随机。还有就是生活中，还有大量的伪随机（结果的背后是有规律的。）。比如，石头剪刀布，高手可以观察到对手的规律性。真随机可能其存在量子层面上。

随机的力量是这个世界的决定性力量。利用随机来战胜对手的例子：打网球选手的左手，转基因作物旁边开辟一块非转基因的作物。

基本概念2: 概率

对于随机性这样一个模糊的词，如何度量所谓的随机性？如何从定性的描述到定量的描述？

术语「概率」是对随机事件发生的可能性大小的定量描述。通常，教材中使用「柯尔莫哥洛夫」的定义。

设 E 为随机试验（注意，是试验），S是它的样本空间（也就是随机试验的可能结果）。对于E的每一事件A赋予一个实数，记作为P(A)，称为事件A的概率。

上面的定义比较抽象，但是请注意，数学通过严谨的数学语言来描述现实的问题，归根结底还是解决现实问题的。同时，也要注意，概率问题的描述十分重要，只有正确的描述随机事件，才能有正确的概率思路。本质上，随机事件是概率论的一种表达方式。只有符合这种表达方式，我们才能度量其概率。

其表达方式的套路如下：
对你关心的事情，设定一个条件；然后从可能性的角度出发，对其中一个可能发生的结果进行陈述，这就是随机事件描述。最后，再对其发生的可能性大小进行度量，这就是事件的概率。

其中有三个要点：

• 在事件前面一定要设定一个条件；
• 从事件发生的可能性的视角出发来描述；有两种情况：一是，过去已经发生过了，但是我不知道；二是，未来还未发生。
• 一定要对某一个发生结果的陈述。也就是样本空间的一个结果。

概率是随机事件在样本空间的比率，这个概率比较好理解。就是该事件发生的频率。日常生活中，我们会经常用频率值来代替概率值。

空间是一个比较专业的数学定义，是现代数学的基础，也是比较抽象的概念。通常它也是通过集合的方式来定义的。如果在样本空间中的事件都不可再分，我们称为基本事件。随机事件是样本空间中的一个子集。

概率的三个基本性质（简称为非负和为1）：

• 概率是非负的，且在0和1之间。
• 样本空间的所有随机事件发生概率加起来为1。
• 某个随机事件不发生的概率，等于1减去这个事件的概率。

样本空间的完备性是大家容易忽视的一个问题：也就是说样本空间必须包含所有可能的结果。前面提到的黑天鹅事件是指这件事情不在样本空间中，所以才说它不是随机事件的。我们世界的认识，就是对样本空间完备性的认识。

基本概念3:独立

独立同分布是在概率学在常说的一个词。「独立」通常是指在同一样本空间中随机事件的相互关系。这个前提在概率论中十分重要。它是正确分析和度量概率的一个基石。

在同一样本空间中，随机事件之间没有关系，这些随机事件称之为独立事件。例如抛一次硬币。硬币的正反面出现的概率一定是0.5。但是有一些常见的误区。譬如连续抛6次，前5次都是正面，那么第 6 次是正面的概率是多少？很多人有一种错觉，就是第 6 次出现正面的概率会小。其实大家是混淆了随机事件的定义。

事件的定义是概率计算的基本条件。上面这个事件可以有两种不同的事件定义或是事件定义的问法。

1. 如果连续抛 6 次硬币，全部都是正面的概率是多少？
2. 如果连续抛 6 次硬币，前 5 次是正面，第 6 次出现正面的概率是多少？

因为每一次抛硬币都是独立的事件，所以第 2 个问题的答案是 0.5。而第1个问题的答案是 0.5 的 6 次方（非常小的浮点数）。

两个随机事件相互独立，在概率论中是指：一个随机事件的发生，不会影响另一个随机事件发生。通常这种非独立的关系，我个人认为是指一些不太明显的因果关系或是其它关系。这里的其它关系是指人们无法理解的，不太明确的，不知道的因果，譬如说，吃火锅，来一罐王老吉；穿了西装，会穿皮鞋。

现实中，识别随机事件的独立性是非常困难的。所以，在数学上，我们可以理解成独立事件是我们描述某些事件的数学模型，或是说简化了计算。但是，要注意，我们一定要仔细思考两件事情的发生是不是独立事件。

概率计算

定义问题比计算更重要。这是个研究领域的老生常谈的问题。问好的问题。

定义问题本质是定义随机事件相互关系的一个重要概念。只有弄清了随机事件的关系，我们才能正确计算它们的概率。

三个法则：

1. 排列组合法则
   排列组合法则适用于结果有限，而且每种结果都是等可能性的情况。计算方法是：概率就是这个随机事件出现的次数除以所有可能的结果的个数。其中注意，排列是有先后的顺序的。大部分的概率问题都是排列组合问题。如果不是等概率的事件，也可用这个随机事件出现的次数，除以样本的总量。

2. 加法法则
   针对多个随机事件。简单的说，就是多个随机事件的概率加和。加法法则也有限定条件，就是这些随机事件不能同时发生，要「互斥」。如果不能互斥，那么使用集合的方式，将交集去除。

3. 乘法法则
   针对多个随机事件，且是相互独立事件。独立事件是两个随机事件没关系；互斥事件是两个随机事件关系特别大，非此即彼。

概率问题的难度在描述随机事件，如「或」，「同时」，「有放回」，「无放回」，一字之差，结果就差之千里。

「一个随机事件发生两次的概率」与「一件事情再次发生的概率」是完全不同的。用数学表示是P(A1)*P(A2)与P(A2|A1)的表述不同。

正确的翻译现实问题，是概率计算最复杂，也最难的地方。

小结一下

就如同计算机语言中的类型一样，都是先定义是什么，在此基础上定义它的操作符。

概率度量