【雷达原理】基本雷达方程的推导

一、研究目的

雷达方程定量地描述了作用距离与雷达参数及目标特性之间的关系。
研究雷达方程主要有以下作用：
（1）根据雷达参数来估算雷达的作用距离；
（2）根据雷达的威力范围来估算雷达的发射功率；
（3）分析雷达参数对雷达作用距离的影响，这对雷达系统设计中正确地选择系统参数有重要的指导作用。

二、推导过程

设雷达发射功率为 $P_t$，当采用全向辐射天线时，与雷达的距离为 $R_1$ 处任意点的功率密度 $S_1$为雷达的发射功率 $P_t$ 与球的表面积 $4\pi R_1^2$ 之比，即：
$$S_1=\frac{P_t}{4\pi R_1^2}（2-1）$$
功率密度的单位为 $W/m^2$。

为了增加在某一方向上的辐射功率密度，雷达通常采用方向性天线。因此，在自由空间中，在雷达天线增益为 $G_t$ 的辐射方向上，距离雷达天线为 $R_1$ 的目标所在位置的功率密度为：
$$S_1^{\prime }=S_1{G}_t=\frac{P_t{G}_t}{4\pi R_1^2}（2-2）$$
目标受到电磁波的照射，因其散射特性将产生散射回波。散射功率的大小显然和目标所在点的发射功率密度 $S_1^{\prime }$ 及目标的散射特性有关。用目标的散射截面积 $\sigma$ (其量纲是面积)来表征其散射特性。

若假定目标可将接收到的回波能量无损耗地辐射出来，就可以得到目标的散射功率(二次辐射功率)为：
$$P_2=S_1^{\prime }\sigma =\frac{P_t{G}_t\sigma }{4\pi R_1^2}（2-3）$$
假设目标的散射回波全向辐射，接收天线与目标的距离为 $R_2$ ，则接收天线处的回波功率密度为：
$$S_2=\frac{P_2}{4\pi R_2^2}=\frac{P_t{G}_t\sigma }{(4\pi {)}^2{R}_1^2{R}_2^2}（2-4）$$
若雷达接收天线的有效接收面积为 $A_r$，天线增益 $G_r$ 和有效面积之间 $A_r$ 的关系为：
$$A_r=\frac{G_r{\lambda }^2}{4\pi }（2-5）$$
则接收天线处回波的功率为：
$$P_r=A_r{S}_2=\frac{P_t{G}_t\sigma A_r}{(4\pi {)}^2{R}_1^2{R}_2^2}=\frac{P_t{G}_t{G}_r\sigma {\lambda }^2}{(4\pi {)}^3{R}_1^2{R}_2^2}（2-6）$$
单基地脉冲雷达通常采用收发共用天线，则令 $G_t=G_r=G$，$R_1=R_2=R$，将其代入上式有：
$$P_r=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^3{R}^4}（2-7）$$
式（2-7）为常用的基本雷达方程的一种形式，可以看出，接收的回波功率 $P_r$ 与目标的距离 $R$ 的四次方成反比，这是因为在一次雷达中，雷达波的能量衰减很大(其传播距离为 $2R$ )。只有当接收到的功率 $P_r$ 大于最小可检测信号功率 $S_{min}$ 时，雷达才能可靠地发现目标。

所以，当 $P_r$ 正好等于 $S_{min}$ 时，就可得到雷达检测目标的最大作用距离 $R_{max}$ 。因为超过这个距离，接收的信号功率进一步减小，就不能可靠地检测到目标。
它们的关系式可以表示为：
$$P_r=S_{min}=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^3{R}_{max}^4}（2-8）$$
上述雷达方程虽然给出了作用距离和各参数间的定量关系，但因未考虑设备的实际损耗和环境因素，而且方程中还有两个不可能准确预定的量：目标有效反射面积 $\sigma$ 和最小可检测信号 $S_{min}$ ，因此它常作为一个估算公式，用来考察雷达各参数对作用距离影响的程度。

在实际情况中，雷达接收的回波信号总会受接收机内部噪声和外部干扰的影响。为了描述这种影响，通常引入噪声系数这一概念。接收机的噪声系数 $F$ 为：
$$F=\frac{N_0}{N_i{G}_a}=\frac{S_i/N_i}{S_i{G}_a/N_o}=\frac{(SNR{)}_i}{(SNR{)}_o}（2-9）$$
其中，$N_0$ 为实际接收机的输出噪声功率，$N_i$ 为接收机的输入噪声功率，$G_a$ 为接收机的增益。
进一步有：
$$(SNR{)}_i=\frac{S_i}{N_i}=F(SNR{)}_o（2-10）$$
由于接收机输入噪声功率为 $N_i=k{T}_{0}B$（$k$ 为玻尔兹曼常数，$T_0$ 为标准室温，B为接收机带宽），代入上式，则输入端信号的功率为：
$$S_i=k{T}_{0}BF(SNR{)}_o（2-11）$$
若雷达的检测门限设置为最小输出信噪比$(SNR{)}_o$，则最小可检测信号功率为：
$$S_{min}=k{T}_{0}BF(SNR{)}_{omin}（2-12）$$
将上式代入基本雷达方程中，并用 $L$ 表示雷达各部分的总损耗，可得到：
$$(SNR{)}_{omin}=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_{0}BFL{R}_{max}^4}（2-13）$$
即雷达的最大作用距离方程为：
$$R_{max}^4=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_{0}BFL(SNR{)}_{omin}}（2-14）$$
式（2-13）和式（2-14）是雷达方程的两种基本形式。在早期雷达中，通常用各类显示器来观察和检测目标信号，所以称所需的$(SNR{)}_{omin}$ 为识别系数或可见度因子M。现代雷达则用建立在统计检测理论基础上的统计判决方法来实现信号检测，检测目标信号所需的最小输出信噪比又称为检测因子(Detectability Factor)$D_0$，即 $D_0=(SNR{)}_{omin}$。$D_0$ 就是满足所需检测性能(即检测概率为 $P_d$ 和虚警概率为 $P_{fa}$ )时，在检波器输入端单个脉冲所需要达到的最小信噪比，也经常表示为$D_0(1)$。

当用信号的能量 $E_t=P_t\tau$ 来代替脉冲功率 $P_t$，用检测因子 $D_0$ 代替$(SNR{)}_{omin}$，并在雷达作用距离方程中增加带宽校正因子 $C_B$，代入式（2-14），则有：
$$R_{max}^4=\frac{P_t\tau G^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_{0}FL{D}_0{C}_B}（2-15）$$
其中，时宽带宽积约等于1，即 $\tau \approx \frac{1}{B}$；带宽校正因子 $C_B\ge 1$，表示接收机带宽失配所带来的信噪比损耗，匹配时 $C_B=1$。

1、基本雷达方程常用的表达形式

（1）
$$P_r=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^3{R}^4}$$
（2）
$$(SNR{)}_{omin}=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_{0}BFL{R}_{max}^4}$$
或者
$$R_{max}^4=\frac{P_t{G}^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_{0}BFL(SNR{)}_{omin}}$$
（3）
$$R_{max}^4=\frac{P_t\tau G^2{\lambda }^2\sigma }{(4\pi {)}^{3}k{T}_{0}FL{D}_0{C}_B}$$

2、计算案例

3、仿真代码

计算不同RCS时，雷达作用距离与信噪比的关系，并绘制曲线。

clc;
clear;
close all;

%% 雷达基本参数
Pt = 150;                   % 单位：W
f0 = 10e9;                  % 单位：GHz
G = 30;                     % 单位：dB
sigma = [0.01,1,5];         % 单位：m2
B = 20;                     % 单位：MHz
F = 3;                      % 单位：dB
L = 6;                      % 单位：dB
Range = (2000:10:10000);       % 单位：m

%% 计算不同RCS时，雷达的作用距离R与信噪比SNR之间的关系，并绘制曲线
SNR = zeros(3,length(Range));
for ii = 1:3
    SNR(ii,:) = Basic_radarEq(Pt,f0,G,sigma(ii),B,F,L,Range);
end
figure;
hold on;
plot(Range,SNR(1,:),'r-');
plot(Range,SNR(2,:),'b-');
plot(Range,SNR(3,:),'m-');
xlabel('距离/m');ylabel('SNR/dB');
legend('RCS=0.01','RCS=1','RCS=5');

function SNR = Basic_radarEq(Pt,f0,G,sigma,B,F,L,Range)
% ---------------- 基本雷达方程(2-13)的计算 -------------- %
% Copyright By ZhangZhiZhao
% Date:2023年6月24日

% 输入：
%       Pt：峰值功率
%       f0：发射信号载频
%       G：天线增益
%       sigma：目标截面积(RCS)
%       B：信号带宽
%       F：噪声系数
%       L：系统损耗
%       Range：雷达作用距离
% 输出：
%       SNR：信噪比
c = physconst('LightSpeed');    % 光速
k = physconst('Boltzmann');     % 玻尔兹曼常数
T0 = 290;                       % 标准室温(K)
Lambda = c/f0;                  % 信号波长

% 将雷达方程中参数的单位均转化为dB
temp1 = 10*log10(Pt*Lambda^2*sigma)+2*G;
temp2 = 10*log10((4*pi)^3*k*T0*B)+F+L+40*log10(Range);
SNR = temp1-temp2;

end

参考文献

[1]陈伯孝, 等. 现代雷达系统分析与设计[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2012.9.
[2]丁鹭飞, 耿富录. 雷达原理(第三版)[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2002.3.