卡尔曼滤波器

简单的insignt

状态估计方程

方程中，下标上的k是状态。在这里我们可以将其视为离散的时间间隔，例如k=1表示1ms，k=2表示2ms。

我们的目标是找到状态k处的X的估计值，即信号X的估计值。其中，Z_k是测量值，K_k称为卡尔曼增益，x_k-1是对先前状态的信号的估计。因为我们有了测量值，并且已经有了先前的估计信号。唯一不确定的量是K_k，即卡尔曼增益。我们应该为每个后续状态计算卡尔曼增益。

另一方面，假设K_k是0.5， 那么我们得到了什么呢？这是一个简单的平均数，换句话说，我们应该在每个状态下找到更智能的卡尔曼增益系数。最关键的是：卡尔曼滤波器为每个随后的状态找到最优的averaging factor。同样以某种方式对过去的状态保留一些记忆。

step-by-step 指南

step1-构造一个模型

卡尔曼滤波器有如下方程：

方程

这意味着我们可以使用线性随机方程(第一个) 来评估每个x_k。任何x_k都是其先前状态x_k-1加上一个控制信号u_k加上一个过程噪声w_k-1的线性组合。在大多数情况下，没有控制信号u_k。

第二个方程告诉我们任何观测值z_k都是信号值x_k和测量噪音v_k的线性组合。他们都被认为是高斯分布的。过程噪声和测量噪声在统计上是独立的。A, B和H是一般形式的矩阵。在大多数信号处理问题中，这些量只是数值。尽管这些值在状态之间可能会发生变化，但是在大多数情况下，我们可以假定它们是恒定的。

如果我们的系统适合该模型，剩下的唯一事情就是估计噪声函数w_k-1和v_k的均值和标准差。我们知道，在现实生活中，没有信号是纯粹的高斯信号，但是我们可以近似地假设它。这不是一个大问题，因为即使高斯噪声参数的估算不佳，我们也会看到卡尔曼滤波算法试图收敛到正确的估算中。

step2-开始过程(start the process)

下一步是确定必要的参数和初始值。在这个过程中，有两个方程：Time Update(prediction) 方程和 Measurement Update(correction) 方程。这两个方程都应用在每个第k个状态。

我们在step1中进行了建模，因此我们知道矩阵A，B和H的值，大多数情况下，它们是数值常数。 甚至在大多数情况下，它们等于1。剩下最痛苦的事情是确定R和Q，R很容易找出，因为我们对环境中的噪声很确定。但是找出Q并没有那么显而易见。为了开始这个过程，我们还需要知道x_0和P_0的估计值。

step3-迭代

在我们收集了所需要的所有信息并开始了这个过程之后，现在我们可以迭代估计。先前的估计将是当前状态的输入。

在这里，Time Update中第一个公式等号左边的x_k，是prior estimate，表示在measurement update(correction) 之前的粗略估计，第二个公式等号左边的P_k是prior error covariance。在Measurement Update方程中，我们确实找到了在时间k处的x估计值，这是在时间k处x的估计值（我们希望找到的东西）。我们评估的卡尔曼增益（Kalman Gain）在下一个迭代步骤中是不需要的，它是这组方程组中隐藏，神秘且最重要的部分。

在Measurement Update中评估的值也被称为后验值。

一个简单的例子

现在，让我们尝试估计一个标量随机常数，例如从电源获得的“电压读数”。假设它具有恒定的 a 伏特，但是在a 伏特上下浮动，假设测量噪声的标准差是0.1伏。模型构建如下:

所以这个问题被归为一个简单的形式。

1. 最重要的是，我们有一个一维信号问题，因此模型中的每个实体（A，B，H）都是一个数值，而不是一个矩阵。
2. 没有控制信号u_k
3. 由于信号是一个常数，A为1，因为我们已经知道下一个值将与前一个值相同。
4. 值H = 1，因为我们知道测量是由状态值和一些噪声组成的。 很少会遇到现实生活中H不同于1的情况。

最后，假设有以下观测值：

我们需要给出x_0和P_0，假设x_0=0并且P_0=1，为什么不选择P_0=0？因为如果选择这种方式，则意味着环境中没有噪音，并且该假设将导致状态k的所有随之而来的x估计都为0(保持最初的state)。Time Update和Measurement Update方程计算如下：

在这里，详细显示了前2个状态迭代，其他的则遵循相同的模式。我们可以看到在经过一系列迭代之后，算法收敛到了真实值。

为了以更少的步骤使得估计收敛，你应该：

1. 对系统进行更优雅地建模
2. 更精确地估计噪声