ARTS 打卡第二周

Algorithm

Project Euler 429. Sum of squares of unitary divisors

A unitary divisor d of a number n is a divisor of n that has the property gcd(d, n/d) = 1.
The unitary divisors of 4! = 24 are 1, 3, 8 and 24.
The sum of their squares is 1^2 + 3^2 + 8^2 + 24^2 = 650.
Let S(n) represent the sum of the squares of the unitary divisors of n. Thus S(4!)=650.
Find S(100 000 000!) modulo 1 000 000 009.

分析

1 若n的因子分解是

prod.png

则它的unitary divisors是

unitary.png

其中c_i取值均为0或1.
所以 unitary divisors的平方和是

sum.png

2 要对n!因子分解，就是对于所有不大于n的质数p_i，求n!中含有多少个p_i因子.

factor.png

3 计算中经常做一下modulo吧

Python程序

from primesieve import primes


def factor_count(n: int, p: int):
    s = 0
    while n > 0:
        n = n // p
        s += n
    return s


def power_mod(a: int, b: int, m: int):
    if b == 0:
        return 1
    x = power_mod(a, b // 2, m)
    x = x * x if b % 2 == 0 else x * x * a
    return x % m


if __name__ == '__main__':
    n, m = 100000000, 1000000009
    s = 1
    for p in primes(n):
        s = s * (1 + power_mod(p, 2 * factor_count(n, p), m)) % m
        if s == 0:
            break
    print(s)

耗时 10.323s

复杂度

prime sieve 求质数

n_log_log_n.png

遍历质数

pi_n.png

因子分解、求幂

n.png

因此整个算法的时间复杂度是

n_log_log_n.png

Review

The Unreasonable Effectiveness of SQL
SQL 由于其声明式的语法、对扩展开放、独立于数据存储，成为成功的4GL
即使是在NoSQL数据库，通常也会提供SQL语法支持。

Tip

https://github.com/romkatv/gitstatus/blob/master/docs/listdir.md
加速 list dir 到40%的技巧

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An Introduction to HTTP/2

• 背景
  • HTTP 诞生时都是文本页面
  • 现在通常页面都有MB大小，一个页面需要发起数百个请求，HTTP 1 不再适用
• HTTP 1 的问题和 HTTP/2 的解法
  • head of line blocking 同一个连接上的请求必须依次收到回复
    • 同一个连接允许并发传输多个请求
  • TCP 慢启动
    • 复用TCP连接
  • Headers 冗余
    • Header 去重、压缩
• 概览
  • HTTP/2是二进制传输
  • 工作在TLS连接之上
  • 一个TCP连接分为多个Stream，各处理一个HTTP请求
• 建立连接
  • 建立TLS连接
  • 通过ALPN来协商使用HTTP/2协议
  • 客户端发送connection preface和SETTINGS帧
  • 服务端发送SETTINGS帧
• HTTP/2 帧
  • Lenghth: 24bits
  • Type: 8bits
    • SETTINGS
    • HEADERS
    • DATA
  • Flags: 8bits
  • R: 1bit
  • Stream Id: 31bits
  • Payload: Lengthbits
• Stream
  • HEADERS 帧开启新的Stream
    • Headers需要多个帧时，后面用CONTINUATION帧，最后一帧的Flags打上END_HEADERS
• Headers压缩
  • 建立Lookup Table
• 其他特性
  • 流控
  • Stream优先级
  • Server Push