abc253 E - Distance Sequence

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abc253 E - Distance Sequence rating : 1073

题目描述

How many integer sequences $A=(A_1,\dots ,A_N)$ of length $N$ satisfy all the conditions below?

• $1\le A_i\le M(1\le i\le N)$
• $\mid A_i-A_{i+1}\mid \ge K(1\le i\le N-1)$

Since the count can be enormous, find it modulo $998244353$.

Constraints

• $2\le N\le 1000$
• $1\le M\le 5000$
• $0\le K\le M-1$

All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N M K

Output

Print the count modulo $998244353$.

Sample Input 1

2 3 1

Sample Output 1

6

The following $6$ sequences satisfy the conditions.

• $(1,2)$
• $(1,3)$
• $(2,1)$
• $(2,3)$
• $(3,1)$
• $(3,2)$

Sample Input 2

3 3 2

Sample Output 2

2

The following $2$ sequences satisfy the conditions.

• $(1,3,1)$
• $(3,1,3)$

Sample Input 3

100 1000 500

Sample Output 3

657064711

解法：动态规划

题目的大致意思是：要从 $1\sim M$ 中选出 $N$ 个数，这 $N$ 个数的数列就为 $A$，这个数列 $A$ 中每两个相邻的数的差的绝对值必须 大于等于 $K$，$|A_i-A_{i+1}|\ge K$。

问一共有多少种方案。

我们定义 $f(i,j)$ 为 考虑前 $i$ 个数，并且最后一个数，也就是第 $i$ 个数为 $j$ 的方案数量。

按照定义最终我们返回的答案就是 ${\sum }_{j=1}^{M}f[n][j]$。

对于 $f[i][j]$， 一共有 $\{f[i-1][1],f[i-1][2],...,f[i-1][j-k]\},\{f[i-1][j+k],f[i-1][j+k+1],...,f[i-1][m]\}$ 这些状态可以转移到 $f[i][j]$。

也就是 $f[i][j]={\sum }_1^{j-k}f[i-1][j](j>k)+{\sum }_{j+k}^{m}f[i-1][j](j+k\le m)$。

对于这两段连续的和，我们可以分别使用一个前缀和 $pre$ ，一个后缀和 $suf$ 数组来进行优化。

初始化： $f[1][j]=1(1\le j\le m)$，因为只考虑第一个数的时候，无论这个数是 $1\sim M$ 中的哪一个数，都只存在一种方案。

时间复杂度： $O(M\times N)$

C++代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

using LL = long long;

const int N = 1010 , M = 5010, MOD = 998244353;

int n,m,k;

LL f[N][M];
LL pre[M] , suf[M];


void solve(){
    cin>>n>>m>>k;

    //初始化
    for(int j = 1;j <= m;j++) f[1][j] = 1;

    for(int i = 2;i <= n;i++){
        //求前缀和数组 和 后缀和数组
        for(int j = 1;j <= m;j++) pre[j] = (pre[j - 1] + f[i - 1][j]) % MOD;
        for(int j = m;j >= 1;j--) suf[j] = (suf[j + 1] + f[i - 1][j]) % MOD;
        //k > 0 
        if(k){
            for(int j = 1;j <= m;j++){
                if(j > k) f[i][j] = (f[i][j] + pre[j - k]) % MOD;
                if(j + k <= m) f[i][j] = (f[i][j] + suf[j + k]) % MOD;
            }
        }
        else{
            for(int j = 1;j <= m;j++) f[i][j] = pre[m];
        }
    }

    LL ans = 0;
    for(int j = 1;j <= m;j++) ans = (ans + f[n][j]) % MOD;

    cout<<ans<<'\n';
}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("in.txt","rt",stdin);
    freopen("out.txt","wt",stdout);

#endif


    int t = 1;

    while(t--){
        solve();
    }

    return 0;
}