第五章，向量空间，1-相关概念
第五章，向量空间，1-相关概念
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- 向量空间
- 子空间
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- 生成子空间
- 向量空间的基、维数、坐标
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- 定义：基、维数
- 定义：坐标
玩转线性代数(26)向量空间的相关概念的笔记，相关证明以及例子见原文
向量空间
定义：设V为n维向量的集合，若集合V非空，且集合V对于V中n维向量的加法及数乘两种运算封闭，即
（1）若 α ∈ V , β ∈ V \alpha \in V, \beta \in V α∈V,β∈V，则 α + β ∈ V \alpha + \beta \in V α+β∈V；
（2）若 α ∈ V , λ ∈ R \alpha \in V, \lambda \in R α∈V,λ∈R，则 λ α ∈ V \lambda \alpha \in V λα∈V。
则称集合V为R上的向量空间
子空间
设V、U是向量空间，且 V ⊆ U V\subseteq U V⊆U，则称V是U的一个子空间。
生成子空间
一般地，由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am所生成的向量空间为
L = { x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + ⋯ + λ m α m ∣ λ 1 ⋯ λ m ∈ R } L=\{ x=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2 + \cdots+\lambda_m\alpha_m|\lambda_1\cdots\lambda_m \in R \} L={x=λ1α1+λ2α2+⋯+λmαm∣λ1⋯λm∈R}
记为 s p a n { α 1 , α 2 , ⋯ , α r ⋯ , α m } span\{\alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r \cdots,\alpha_m\} span{α1,α2,⋯,αr⋯,αm}
向量空间的基、维数、坐标
定义：基、维数
设V是向量空间，若有r个向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α r ∈ V \alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r \in V α1,α2,⋯,αr∈V，且满足
（1） α 1 , α 2 , ⋯ , α r \alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r α1,α2,⋯,αr线性无关；
（2）V中任一向量都可由 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r α1,α2,⋯,αr线性表示。
则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r α1,α2,⋯,αr为向量空间V的一个基，数r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间
定义：坐标
如果在向量空间V中取定一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r α1,α2,⋯,αr，那么V中任一向量x可唯一地表示为
x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + ⋯ + λ r α r x=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2 + \cdots+\lambda_r\alpha_r x=λ1α1+λ2α2+⋯+λrαr
数组 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ r \lambda_1,\lambda_2, \cdots,\lambda_r λ1,λ2,⋯,λr称为向量x在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \alpha_1,\alpha_2, \cdots,\alpha_r α1,α2,⋯,αr中的坐标。
特别地，在n维向量空间 R n R^n Rn中取单位坐标向量组 e 1 , e 2 , ⋯ , e n e_1,e_2, \cdots,e_n e1,e2,⋯,en为基，则以 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2, \cdots,x_n x1,x2,⋯,xn为分量的向量x，可表示为
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n x=x_1e_1+x_2e_2 + \cdots+x_ne_n x=x1e1+x2e2+⋯+xnen
可见向量在基 e 1 , e 2 , ⋯ , e n e_1,e_2, \cdots,e_n e1,e2,⋯,en中的坐标就是该向量的分量，因此 e 1 , e 2 , ⋯ , e n e_1,e_2, \cdots,e_n e1,e2,⋯,en叫做 R n R^n Rn中的自然基。