统计学4-辛普森悖论

对撞因子

对撞因子（Collider）【1】，在统计学和图模式中，是指同时被两个以上的变量影响的变量，而这些影响对撞因子的变量之间不一定有因果关系。因为在环路图上会显示为有两个以上箭头指入的节点，所以称为对撞因子。

Collider.png

在设计实验、挑选样本或进行统计分析时，如果有意或者无意间控制了对撞因子，会造成自变量和因变量之间出现没有实际因果关系的伪关系。

例子

在二次世界大战期间，沃德·亚伯拉罕发现盟军飞回来的飞机中，机翼上有最多弹痕，机尾和引擎最少。他提议补强最少弹痕的地方，而不是中弹最多的地方。因为这些飞机可以飞回来，说明中弹的位置不重要，而其他位置中弹的飞机没能飞回来，所以才没有观察到哪些位置中弹。有弹痕的位置和重要的位置是两个变量，是否被击落是对撞因子，因为没被击落的条件已经自动被控制了，所以变量之间出现负相关。这种现象称作幸存者偏差。

再以篮球为例，如果只看 NBA球员，会发现身高比较高的人得分率没有比较高。这是因为身高矮还能进NBA的人必然是用其他有时补足了身高的弱势。 身高为自变量，篮球得分率为因变量，是NBA球员是对撞因子。

辛普森悖论

如果控制对撞因子后造成相反的相关性，称为辛普森悖论【2】。

当人们尝试探究两种变量（比如新生录取率与性别）是否具有相关性的时候，会分别对之进行分组研究。然而，在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方。该现象于20世纪初就有人讨论，但一直到1951年，E.H.辛普森在他发表的论文中阐述此一現象後，该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名此悖论。

请看下面的例子

一所美国高校的两个学院，分别是法学院和商学院。新学期招生，人们怀疑这两个学院有性别歧视。现作如下统计：

法学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	8	45	53	15.1%
女生	51	101	152	33.6%
合计	59	146	205

商学院

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	201	50	251	80.1%
女生	92	9	101	91.1%
合计	293	59	352

根据上面两个表格来看，女生在两个学院都被优先录取，即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总：

性别	录取	拒收	总数	录取比例
男生	209	95	304	68.8%
女生	143	110	253	56.5%
合计	352	205	557

在总评中，女生的录取比率反而比男生低。

借助一幅向量图可以更好的了解情况：

Simpson_Paradox.jpg

这个例子说明，简单的将分组数据相加汇总，是不能反映真实情况的。

就上述例子说，导致辛普森悖论有两个前提。

1. 两个分组的录取率相差很大，就是说法学院录取率很低，而商学院却很高。而同时两种性别的申请者分布比重相反。女性申请者的大部分分布在法学院，相反，男性申请者大部分分布于商学院。结果在数量上来说，拒收率高的法学院拒收了很多的女生，男生虽然有更高的拒收率，但被拒收的数量却相对不算多。而录取率很高的商学院录取了很多男生，使得最后汇总的时候，男生在数量上反而占优。
2. 有潜在因素影响着录取情况。就是说，性别并非是录取率高低的唯一因素，甚至可能是毫无影响的。至于在学院中出现的比率差，可能是随机事件。又或者是其他因素作用，比如入学成绩，刚好出现这种录取比例，使人误认为这是由性别差异而造成的。例如，如果报考法学院的女生较多，可能会出现女生的录取分数线高于男生的情况。

为了避免辛普森悖论的出现，就需要斟酌各分组的权重，并乘以一定的系数去消除以分组数据基数差异而造成的影响。同时，我們必需清楚了解情况，以综合考虑是否存在造成此悖論的潜在因素。

【1】对撞因子
【2】辛普森悖论