2022-06-24

本周讨论的文章是Matan Grinberg, Juan Maldacena 的 “Proper time to the black hole singularity from thermal one-point functions”

计算一点函数，可能看起来比较trivial，当然我们能从中读出来的信息也是有限的，但是这个文章有一些lovely stories，这可能是物理的一些乐趣。

我们可以先考虑在黑洞背景里运动的一个经典的massive particle，它的作用量就是

在视界外面的时候，time-like的proper length是real 的。当它穿过视界后，如果我们只是analytically continue 视界外面的metric到视界内部的话，proper length 这个时候就是虚的。如果我们给质量一个小的虚部，那么作用量会随着粒子掉入singularity 而exponentially decay。 但是如果我们couple 这个 粒子一个potential 或者sorce 使得这个时候的有效作用量是

我们假设这个potential在黑洞singularity附近的变化很剧烈并且粒子质量很大，那么我们可以期待这个action 在黑洞附近有一个saddle point

这样的我们就可以用来近似黑洞singularity对应的proper time，因为当粒子质量足够的大时候，只有靠近singularity的时候potential 的变化才能平衡decay 那一项。注意我们定义normalized 的action：

所谓我们可以认为因为potential的存在，action得到了一个而外的"phase shift"。

问题是这个新加的potential 是什么？比如我们手动的加入一些background field，比如让粒子与Wely curvature的平方couple。或是加入而外的粒子引入新的coupling .

下面我们可以考虑更精确的计算这个phase shift，通过算场论的feynamn 图。这是文章另外一个有意思的地方，当用feynman图来计算的时候，我们可以用欧式的路径积分来做。这个时候，自动时空只包括视界的外部，但是我们还是可以得到这个"phase shift"，而不需要直接把积分区域continue到视界内部。另外一个有意思的是，我们用saddle point approximation 来计算这个 路径积分。这个时候，我们会得到很多complex saddle points，通过一些contour 的分析，会发现，include 特定某些的saddle point 的贡献之后也能得到这个"phase shift"。