（三）方阵的谱半径

1. 方阵的谱与谱半径

定义 对于$\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，将其全体特征值构成的集合称作$\mathbf{A}$的 谱，记作 $\sigma (\mathbf{A})$。将模最大的特征值称作$\mathbf{A}$的 谱半径，记作 $\rho (\mathbf{A})$，即：
$$\begin{gathered} \sigma (\mathbf{A})=\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\} \\ \rho (\mathbf{A})=\underset{1\le i\le n}{\max }|{\lambda }_i| \end{gathered}$$

2. 矩阵范数与谱半径的关系

定理 对于任何 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$，均有
$$\rho (\mathbf{A})\le ||\mathbf{A}||$$
即，方阵的谱半径小于其任意一种矩阵范数。

证明：设 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $\lambda$ ，对应的特征向量为 $u$，根据矩阵范数的相容性条件：
$$\begin{gathered} |\lambda |\cdot ||u||=||\lambda u||=||\mathbf{A}u||\le ||\mathbf{A}||\cdot ||u|| \\ ⟹\rho (\mathbf{A})\le ||\mathbf{A}|| \end{gathered}$$
上式中的向量范数是由矩阵范数应用于向量这种特殊情形定义的。(证毕)

定理 若 $\mathbf{A}$ 为实对称矩阵，则
$$||A|{|}_2=\rho (\mathbf{A})$$

证明：由于实对称矩阵必可正交相似对角化，即
$${\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{D}⟹\mathbf{A}=\mathbf{QD}{\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}$$
其中$\mathbf{Q}、\mathbf{D}$ 分别为特征向量构成的正交矩阵与特征值构成的对角阵。
那么
$${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}={\mathbf{A}}^2=\mathbf{Q}{\mathbf{D}}^2{\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}⟹{\mathbf{Q}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A})\mathbf{Q}={\mathbf{D}}^2$$
说明：若 $\lambda \ge 0$ 为${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}$ (半正定) 的特征值，则 $\sqrt{\lambda }$ 为 $\mathbf{A}$ 特征值。那么
$$||\mathbf{A}|{|}_2=\sqrt{{\lambda }_{max}({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A})}={\lambda }_{max}(\mathbf{A})=\rho (\mathbf{A})(证毕)$$