约瑟夫环问题 —— 算法

前言

今天在浏览技术文章时看到的这么一个问题，感觉甚是有趣，专门来研究研究下，在浏览众多关于约瑟夫讲解的文章后，便进行一个较为详细的总结。

约瑟夫问题，是一个计算机科学和数学中的问题，在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环，又称“丢手绢问题”。约瑟夫问题在各大刷题网站有各种各样的变体，这里列举了一部分的问题描述，但不管怎么变，其意思都是一样的。

约瑟夫环问题一

0,1,…,n−1 这 n 个数字排成一个圆圈，从数字 0 开始，每次从这个圆圈里删除第 m 个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、40、1、2、3、4 这 5 个数字组成一个圆圈，从数字 0 开始每次删除第 3 个数字，则删除的前 4 个数字依次是 2、0、4、12、0、4、1，因此最后剩下的数字是 3。

约瑟夫环问题二

一个由 n 个节点构成的数环，从某个点开始依次编号，然后每一轮剔除第 k 个节点，剩余的形成新的环，从被删除的节点的下一个开始计数，继续剔除，直至只剩下一个节点，求这个节点在最开始 n 个节点中是第几号。

约瑟夫环问题三

N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。

约瑟夫环问题四

已知n个人(以编号1，2，3…n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为1的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，要求找到最后一个出列的人

约瑟夫环问题五

一只猫抓住了n只老鼠，其将老鼠排成一圈，依次按照1~m报数，报m值的吃掉，直到只剩下一只老鼠时，猫将其放生，求获生的老鼠编号。

约瑟夫环问题六

海盗船长抓到了n个俘虏，但是海盗船只能容许再多一个人，于是他决定让这些俘虏围成一个圈，然后1234的顺序报数，谁报到m就枪毙谁。那么这些俘虏谁可以存活下来呢？

约瑟夫环问题七

这个就是leetcode1823的题—— 找出游戏的获胜者。这7种描述，不管怎么变，万变不离其宗。对于上述各个问题描述中出现的m，因为m是不确定的，所以没有确切的公式推导，但若是m=2，就有准确的数学递归公式，详情请看约瑟夫环数学问题

约瑟夫环问题解决一 —— 模拟队列

对于约瑟夫环问题，我们可以采取模拟队列的方式，将n个元素一一进队，之后将队首元素出队加到队尾，依次加k-1次，第k次要删除的那个元素就是队首元素了，将其出队即可，循环往复，直至队中只剩最后一个元素。返回这个元素即可。

public static int findTheWinner(int n,int k){
        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 1; i <= n ; i++) {
            queue.offer(i);
        }
        while (queue.size() != 1){
            for (int i = 1; i < k ; i++) {
                queue.offer(queue.poll());
            }
            queue.poll();
        }
        return queue.peek();
    }

约瑟夫环问题解决二 —— 环形链表

对于约瑟夫环问题，我们还可以采用环形链表的方式来解决，构建一个长度为n的链表，各节点值为对应的索引，每轮删除第 m 个节点，直至链表长度为 1 时结束，返回最后剩余节点的值即可。

public static int findTheWinner(int n,int k){
        if (k==1){//按一个人计数，最后一个人就是赢家
            return n;
        }
        Node head = new Node(1);
        Node tmp = head;
        for (int i = 2;i<=n;i++){//建立长度为n的链表
            tmp.next = new Node(i);
            tmp = tmp.next;
        }
        tmp.next = head;//构成环
        tmp = head;
        int i = 0;
        while (tmp.val!=tmp.next.val){//当还有一个人的时候，值才会相等，退出循环
            i++;
            if (i==k-1){
                tmp.next = tmp.next.next;//每轮到第k个人，就kill掉
                i=0;//然后重新计数
            }
            tmp = tmp.next;
        }
        return tmp.val;
    }

约瑟夫环问题解决三 —— 动态规划

对于约瑟夫环问题，可以根据动态规划的方式解决，所谓动态规划就是把大问题分成小问题进行处理找到逻辑关系【递推公式】

• 假定f（n，m）表示的是第一步从0开始对区间0~n-1不断进行删除操作。
• 起点是0，区间是0～n-1，被删除的元素是（m-1）%n 用k表示。
• 第二步删除时，起点是 k+1 ，结果可以表示为f（n-1，k）。
• 根据问题规模有由变成n-1，前后位置差为k。
• 递推得到f（n，k）= （f（n-1，k）+ k）% n

递归方式：

    public static int findTheWinner3(int n,int k){
        if (n<=1){
            return n;
        }
        int ans = (findTheWinner3(n-1,k)+k)%n;
        return  ans== 0? n:ans;
    }

采用迭代进行优化：时间复杂度O(n) ，空间复杂度O(1)

public static int findTheWinner2(int n,int k){
        int pos = 0;
        for (int i = 2; i < n+1; i++) {
            pos = (pos + k)%i;
        }
        return pos+1;
    }