整数划分

思想

整数划分，是指把一个正整数n表示成系列正整数之和：
例如正整数6有如下11种不同的划分，所有p(6)=11

6
5+1
4+2,4+1+1
3+3,3+2+1,3+1+1+1
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1

我们假设函数f(n,m):
n为要整数划分的数，m为划分中出现的最大加数
然后可以推出递归关系(反正我是推不出，只能理解了 (●—●))
①$f(1,m)=1$，$m\ge 1$
当$n=1$时，不论m的值为多少($m>0$)，只有一种划分即一个1。这很好理解，只要m选择比1大的数都会大于n。
②$f(n,1)=1$，$n\ge 1$
当$m=1$时，不论n的值为多少($m>0$)，只有一种划分即n个1。这也好理解，最大的加数为1，只能n个1相加才能等于n。
③$f(n,m)=f(n,n)$，$m\ge n$
最大加数m是不能超过整数划分的n的，因此只能更改最大整数m为整数划分的n。例如:$f(3,5)=f(3,3)$
④$f(n,n)=1+f(n,n-1)$
正整数n的划分是由$s=n$的划分和$s\le n-1$的划分构成的。例如:$f(6,6)=1+f(6,5)$
⑤$f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m),n>m>1$
个人觉得这个是最难的，感觉不好理解。
其解释为正整数n的最大加数s($s<m$,说白了就是在1到m之间选择个比m更小的正整数），是由$s=m$的划分和$s\le m-1$的划分组成。
例如:$f(6,4)=f(6,3)+f(2,4)=f(6,3)+f(2,2)$

$f(6,4)=9$	$f(6,3)=7$	$f(2,2)=2$
4+2,4+1+1 3+3,3+2+1,3+1+1+1 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1	3+3,3+2+1,3+1+1+1 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1	4+2,4+1+1

个人认为这个例子对于理解很重要，首先我们可以看出$f(6,3)=7$除了与$f(6,4)=9$少了4+2和4+1+1划分外，其他部分是一致的。而右侧的$f(2,2)=2$虽然并不真正包含加数4，但是$f(6,3)=7$缺少的虽然包含整数4，但4不需要进行划分(划分部分已经就不含有4了)，所以划分的整数2(即$n-m$),则2的划分次数和$f(6,3)=7$缺少的划分刚好相等。
此处我们只需要考虑次数，而不需考虑真正的划分加法序列，因此以总次数为中心。
综上递归方程为:
$$f(n,m)=\{\begin{array}{ll}1& n=1,m=1\\ f(n,n)& n<m\\ 1+f(n,n-1)& n=m\\ f(n,m-1)+f(n-m,m)& n>m>1\end{array}$$

代码

#include
using namespace std; 

int split(int n,int m)
{
	if(n == 1 || m == 1) return 1;
	else if(n < m) return split(n,n);
	else if(n == m) return split(n,n-1) + 1;
	else return split(n,m-1)+split(n-m,m);
}

int main()
{
	int n;
	printf("输入划分数:");
	scanf("%d",&n);
	printf("整数划分为:%d\n",split(n,n));
	return 0;
}

输入

6

输出

11

总结

第一次看见整数划分是在《数据结构1800题》里面，其中算法大多苦涩难懂。看到这一题时是一个填空题，刚好都是递归方程的填空。之前没接触过，看着有些懵。在此看时才明白是怎么回事。
我相信学习是一个迭代的过程，只要不断进步不断努力就好!