小圆实现平面全覆盖（密排、小圆覆盖椭圆）

根据圆密排定理，使用正六边形密排可以使空间利用率最高，即小圆与小圆之间重叠部分最小。

用matlab实现，画出图像。本文代码是在clean-mark的代码进行改进。小圆半径默认为1。

画出正六边形密排图像：

X=[];Y=[];
x=0
m=x;
temp=x;
y=0
n=y;
x=temp;
a=0;a
r=1;
z=r*(3^(1/2))/2;
p=x;
q=p;
j=y;
for y=j:3/2*r:10
for x=p:r*3^(1/2):10
X=[X;x]
Y=[Y;y]
hold on
a=a+1;
end
for x=p-r*(3^(1/2)):-r*(3^(1/2)):-10
X=[X;x]
Y=[Y;y]
hold on
a=a+1;
end
p=p+z;
end
p=q-z;
for y=j-3/2*r:-3/2*r:-10
for x=p:r*(3^(1/2)):10
X=[X;x]
Y=[Y;y]
hold on
a=a+1;
end
for x=p-r*(3^(1/2)):-r*(3^(1/2)):-10
X=[X;x]
Y=[Y;y]
hold on
a=a+1;
end
p=p+z;
end
voronoi(X,Y)

画出图像效果图：

在上文基础上，取圆心画出小圆：

function []=plot1(x,y,r)
theta=0:0.01:2*pi;
Circle1=x+r*cos(theta);
Circle2=y+r*sin(theta);
plot(Circle1,Circle2,'r');
axis equal;
end

x=0
m=x;
temp=x;
y=0
n=y;
x=temp;
a=0;a
r=1;
z=r*(3^(1/2))/2;
p=x;
q=p;
j=y;
for y=j:3/2*r:10
for x=p:r*3^(1/2):10
if sqrt(x^2+y^2)-10

画出图像效果图：

 在这基础上，实现在9*x^2+16*y^2=144的椭圆内用最少定长小圆进行全覆盖

xCenter = 0;
yCenter = 0;
xRadius = 4;
yRadius = 3;theta = 0 : 0.01 : 2*pi;x1 = xRadius * cos(theta) + xCenter;
y1 = yRadius * sin(theta) + yCenter; 
plot(x1, y1, 'LineWidth', 1)
hold on
x=0
m=x;
temp=x;
y=0
n=y;
x=temp;
a=0;a
r=1;
z=r*(3^(1/2))/2;
p=x;
q=p;
j=y;
for y=j:3/2*r:10
for x=p:r*3^(1/2):10
if 9*x*x+16*y*y<=144
    plot1(x,y,r)
hold on
a=a+1;
end
end
for x=p-r*(3^(1/2)):-r*(3^(1/2)):-10
if 9*x*x+16*y*y<=144
    plot1(x,y,r)
hold on
a=a+1;
end
end
p=p+z;
end
p=q-z;
for y=j-3/2*r:-3/2*r:-10
for x=p:r*(3^(1/2)):10
if 9*x*x+16*y*y<=144
    plot1(x,y,r)
hold on
a=a+1;
end
end
for x=p-r*(3^(1/2)):-r*(3^(1/2)):-10
if 9*x*x+16*y*y<=144
    plot1(x,y,r)
hold on
a=a+1;
end
end
p=p+z;
end
X=[-1.73205;-1.73205;1.73205;1.73205;-4.33013;-4.33013;4.33013;4.33013];Y=[-3;3;-3;3;1.5;-1.5;1.5;-1.5];
for i=1:1:8
    plot1(X(i),Y(i),r)
end

图像效果：

 如果想要使覆盖效果更好，可以手动调整一下方向。