DM@数理逻辑@命题和联结词@形式化命题

abstract

• 数理逻辑@命题和联结词@形式化命题

命题和联结词基本概念

• 数理逻辑是研究形式推理的数学分支
• 首先介绍命题和联结词相关相关概念

命题@陈述句

• 式推理由一系列的陈述句组成.
  • 例如，因为3>2，所以3≠2.在这里“3>2”和“3≠2”是两个陈述句，整个“因为3>2，所以3≠2”也是一个陈述句.
  • 这3个陈述句都成立，即为真.
  • 这种非真即假的陈述句称为命题.

命题真值

• 作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值(理解为"真实性或成立性"),真值只取两个值:真或假.(分别表示命题成立和不成立)
• 真值为真的命题称为真命题,真值为假的命题称为假命题.
• 真命题表达的判断正确,假命题表达的判断错误.任何命题的真值都是唯一的.

真假记号

• 通常,命题真值为真用数字1表示,真值为假用$0$表示

原子命题@命题分解

• 命题“因为3>2，所以3≠2”由两个更简单的命题“3>2”和“3≠2”组成.

  • “3>2”和“3≠2”不能再分解成更简单的命题了.
  • 注意,虽然$p$:"$a=3$"蕴含了$q_1$:"$a<4$"以及$q_2$:"$a$是实数"等命题,但是不能理解为$q_1,q_2$是从$p$拆分出来的原子命题
  • 因为$p$的成立一定有$q_1,q_2$的成立,而非原子命题被拆分出来的原子命题和原命题没有真值上的必然关系

• 不能被分解成更简单的命题称为简单命题或原子命题.

• 在命题逻辑中,简单命题是最小的基本单位，对它不再细分.

复合命题(联结词命题)

• 在各种论述和推理中,所出现的命题多数不是简单命题,如上面的“因为3>2，所以3≠2”.
• 由简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题．
• 判断给定句子是否为命题,应该分两步:
  • 首先判定它是否为陈述句,
  • 其次判断它是否有唯一的真值.

例

先将下面各陈述句中出现的原子命题符号化,并指出它们的真值,然后再写出这些陈述.

1. $\sqrt{2}$是有理数是不对的.
2. 2是偶素数
3. 2或4是素数.
4. 如果2是素数,则3也是素数.
5. 2是素数当且仅当3是素数.

解

• 抽取原子命题
  • 在(1)中“$\sqrt{2}$是有理数”是原子命题;
  • (2)~(5)中各有两个原子命题，分别是
    • “2是素数”和“2是偶数”,
    • “2是素数”和“4是素数”，
    • “2是素数”和“3是素数”
    • 以及“2是素数”和“3是素数”.
  • Note:原子命题强调不可再拆分,例如"数$a$是偶素数"因该理解为"数$a$是偶数同时是素数",因此它包含了两个判断:
    • 数$a$是偶数;
    • 数$a$是素数,
    • 这两个才是原子命题(不再可分)
• 符号化
  • 去除上述重复的原子命题,共有5互不相同个原子命题,将它们分别符号化为
  • p:2是有理数.
  • q:2是素数.
  • r :2是偶数.
  • s :3是素数.
  • t :4是素数.
• 真值
  • p,t的真值为0,其余的真值为1.
• 符号陈述命题
  • 将原子命题的符号代入，上述各陈述句可表示成:
    • (1)非p (p不成立);
    • (2)q并且(与)r;
    • (3)q或t;
    • (4)若q,则 s ;
    • (5)q当且仅当s

半形式化命题和形式化语言

• 不妨称上述这类符号和自然语言参半的表述方式为半形式化的,这种半形式化的表述形式不能令人满意
• 数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理中的各种要素都符号化,即构造各种符号语言来代替自然语言,完全由符号所构成的语言称为形式语言
• 为了达到这个目的,就要求进一步抽象化,即将联结词也符号化

形式逻辑的抽象性

• 数理逻辑是研究抽象的形式推理,有些规定和自然语言中的逻辑有所不同,或者更抽象
• 例如后面提到的蕴含式:$p\to q$,$p,q$可以无任何内在联系,这和自然语言中的习惯和不相同
• 命题逻辑中的联结词不能简单地与自然语言中的联结词等同(尽管它们有联系)

联结词形式化

• 上述5个例子中出现的不相同的联结词有5个:
  • “非”
  • “并且”
  • “或”
  • “如果……则……”
  • “当且仅当”
• 这些联结词是自然语言中常用的联结词,但自然语言中出现的联结词有的具有二义性,因而在数理逻辑中必须给出联结词的严格定义,并且将它们符号化

否定

• 设p为命题,复合命题“非$p$”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作$\neg p$符号$\neg$称作否定联结词.
• 规定$\neg p$为真当且仅当$p$为假.
• 由定义可知，$\neg p$ 的逻辑关系为"$p$不成立",因而当$p$为真时,$\neg p$为假;反之当$p$为假时$\neg p$为真.

合取

• 设$p,q$为两个命题,复合命题“$p$并且$q$”(或“p与$q$”)称为$p$与$q$的合取式,记作$p\wedge q$
• "$\wedge$"称作合取联结词.
• 规定$p\wedge q$为真当且仅当$p,q$同时为真.
• 由定义可知,$p\wedge q$的逻辑关系为$p,q$同时成立,因而只有当$p,q$同时为真时,$p\wedge q$才为真,其他情况下$p\wedge q$均为假.
• 使用联结词$\wedge$需要注意两点:
  • 其一是$\wedge$的灵活性.自然语言中的“既……又……”“不但……而且……”“虽然……但是……”“一面……一面……”等都表示两件事情同时成立，因而都可以符号化为$\wedge$.
  • 其二,不要见到“与”“和”就使用联结词$\wedge$,例如,A和B是同学,这个命题是原子命题而不是符合命题,出现的"和"字不是逻辑联结词,这个命题符号化为$t$:A和B是同学(理解为"A,B两人之间是同学关系)"),其否定式为$\neg t$:A和B不是同学

析取

• 设$p,q$为两个命题,复合命题“$p$或$q$”称作$p$与$q$的析取式,记作$p\vee q$.

• $\vee$称作析取联结词.

• 规定$p\vee q$为假当且仅当$p与q$同时为假.

• 由定义可知,当$p,q$中有一个为真时, $p\vee q$为真.

• 只有当$p,q$同时为假时,$p\vee q$才为假.

• 以上定义的析取联结词$\vee$与自然语言中的“或”并不完全一样.

• 自然语言中的“或”具有二义性,用它

  • 有时具有相容性(即它联结的两个命题可以同时为真) ,
  • 有时具有排斥性(即只有当一个为真、另一个为假时才为真),
  • 对应地分别称为相容或和排斥或.

相容或的表示

• 析取$\vee$,对应的就是相容或

排斥或的表示

• 排斥或(也称为异或)不是基本联结词,但它可以通过使用多个基本联结词表示:
  • $r$排斥或$s$表示为:$r\oplus s$=$(r\wedge \neg s)\vee (\neg r\wedge s)$,
  • 这个式子用了5个基本联结词
  • $(r\wedge \neg s)$和$(\neg r\wedge s)$的真值一定是互异的(一真一假)
• $r\oplus s$为真当且仅当$r,s$中恰好一个为真,即
  • $(r,s)=(1,0)$或$(0,1)$使$r\oplus s$为真;
  • 而其余情况,即$(r,s)=(1,1)$或$(0,0)$都使$r\oplus s$为假

蕴含

• 设$p,q$是两个命题,复合命题:"若$p$,则$q$"称为$p,q$的蕴含式(logical implication),记为$p\to q$
• 其中$p$是蕴含式的前件,$q$为蕴含式的后件
• $\to$称为蕴含联结词
• 作为推理“如果p,则q”的形式化，规定:$p\to q$为假当且仅当"$p$为真$q$为假",即
  • 当p为真,q为真时，$p\to q$显然为真;
  • 当p为真,q为假时，$p\to q$显然为假.
  • 额外规定:当前件$p$为假时,后件$q$无论是真是假,$p\to q$均为真
    • 这种规定的原因是考虑到人们平时惯用的思维方式,并且由于数理逻辑得抽象性,所以有些蕴含式真值的规定是比较抽象的
    • 例如命题"若3是偶数,则3也被2整除(2整除3)",从命题的角度,前件:"3是偶数"是假命题,且后件"2整除3"也是假命题,但是整个蕴含式命题却不是假命题,而是真命题
    • 例如:反证法证明"$3$不是偶数":
      • 设3是偶数,则3能被2整除
      • 而3不能被2整除
      • 上述两个命题对$3$能否被$2$整除这点产生了矛盾,假设不成立,3不是偶数
• $p\to q$的逻辑关系为:$q$是$p$的必要条件
• 例如,"小明是男人"蕴含了"小明是人类"以及"小明是雄性的动物"等模糊化的命题
  • 又比如命题$p$:"$a=3$"蕴含了$q_1$:“$a$是实数”,$q_2$:“$a$<4”,$q_3$:“$a$是奇数”,$\cdots$等命题,这些命题都蕴含于命题$p$但又都不等同于命题$p$,且都不如$p$来的具体
  • 事实上,若$p\to r_1\to r_2\to \cdots$,那么$r_{i+1}$不如$r_i$来的具体,例如$p$:“$a=3$”,$r_n$:“$a$是复数”,显然$p$蕴含了$r_n$,且$p$比$r_n$具体得多

Notes:补充说明

• 1.在自然语言里,特别是在数学中,$q$是$p$ 的必要条件有许多不同的叙述方式.例如,以下命题都表示$q$是$p$的必要条件,即$p$是$q$的充分条件,都可以记为$p\to q$,也都可以读作(复述为):“$p$蕴含$q$"或"至少满足$q$才可能$p$”
  1. “只要p,就q”,
  2. "因为p,所以q”
  3. “仅当q才p”;"p仅当q”
  4. “只有q才p”
  5. “除非q才p”
  6. "除非q,否则非p”等.
  7. Notes
     • 以上各种叙述方式表面看来有所不同,但都表示q是p的必要条件,因而都应使用→,符号化为$p\to q$.("仅当,只有,除非"可以翻译为至少)
     • 这里**"才"应该理解为才可能**而不是"就"的意思
• 2.当前件$p$为假时,为什么规定后件**$q$无论是真是假,$p\to q$均为真**呢?
  • 可以理解为,前件为假(即不可能发生)因此后件不论真假,整个原则上蕴含式是成立的
  • 通常,自然语言很少去判定这类情况的命题,体现数理逻辑的抽象性
  • 例如"若3>1,则1<3"这个蕴含式(前后件看似矛盾,但是整个命题被规定为非假的,即被规定为真
• 3.在自然语言中,“如果p ,则q”中的前件p与后件q往往具有某种内在联系.而数理逻辑是研究抽象的形式推理,p与q可以无任何内在联系.譬如，“因为2<3，所以1+1=2.”
  • 在通常的意义下是不对的，或者认为它是毫无意义的.
  • 但在数理逻辑中，设$p$:“$2<3$”, $p$:" $1+1=2$"，这句话可形式化为$p\to q$.
  • 而且因为$p,q$都为真，故$p\to q$为真.
  • 由此可见，$p\to q$为真仅表示p与q的取值关系(当p为真时,q必为真;当q为假时,p必为假),而和p与q是否有内在联系无关.
  • 有时,$p,q$单独判断真值时不一定都能确定下来,而当$p,q$有内在联系时,且知道其中一个的真值,比如知道$p$是真命题时,$q$的真值也确定下来

等价

• 设$p,q$是两个命题,它们复合命题"$p$当且仅当$q$"称为$p,q$的等价式,记为$p\leftrightarrow q$,
• $\leftrightarrow$称为等价联结词
• 规定$p\leftrightarrow q$为真当且仅当$p,q$同时为真或同时为假(同或)