合同矩阵充要条件

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。

正惯性指数是矩阵正特征值个数，负惯性指数是矩阵负特征值个数。

即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。

证明：

本论证中的所有矩阵都是对称矩阵。

根据定义，若矩阵A和矩阵B满足
$$B=P^{T}AP\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
则称A与B合同。

根据对称矩阵的性质，可以得出：
$$A=Q^T\Lambda Q\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

其中，$\Lambda$既可以是普通的对角矩阵，也可以是规范型（即对角元素的值的绝对值为1）。

将（1.1）带入（1.2）可得：

$$B=P^T{Q}^T\Lambda QP=(QP{)}^T\Lambda (QP)\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

假设 $（QP）=R$，则（1.3）可化为

$$B=(R{)}^T\Lambda (R)\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

从（1.2）和（1.4）可以得出，A和B有相同的特征值（规范型），结论得证。

还是要感谢万能的知乎。

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