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奇异值

矩形矩阵的奇异值和对应的奇异向量分别为满足以下条件的标量以及一对向量和：

其中，是的Hermitian转置，奇异向量和通常缩放至范数为 1。此外，如果和均为的奇异向量，则和也为 A 的奇异向量。

奇异值始终为非负实数，即使为复数也是如此。对于对角矩阵的对角线上的奇异值以及构成两个正交矩阵和的列的对应奇异向量，方程为

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。

由于和均为单位矩阵，因此将第一个方程的右侧乘以会生成奇异值分解方程

m×n 矩阵的完整奇异值分解涉及 m×m、 m×n以及 n×n。换句话说，和均为方阵，与的大小相同。如果的行数远多于列数 (m > n)，则得到的 m×m 矩阵为大型矩阵。但是，中的大多数列与中的零相乘。在这种情况下，精简分解可通过生成一个 m×n、一个 n×n以及相同的来同时节省时间和存储空间：

与特征值分解的区别

特征值分解是分析矩阵（当矩形表示从向量空间到其自身的映射时）的合适工具，就像分析常微分方程一样。但是，奇异值分解是分析从一个向量空间到另一个向量空间（可能具有不同的维度）的映射的合适工具。大多数联立线性方程组都属于这第二类。

如果是方形的对称正定矩阵，则其特征值分解和奇异值分解相同。但是，当偏离对称性和正定性时，这两种分解之间的差异就会增加。特别是，实矩阵的奇异值分解始终为实数，但非对称实矩阵的特征值分解可能为复数。

精简分解

`[U,S,V] = svd(A,'econ')`

m > n - 只计算 U 的前 n 列，S 是一个 n×n 矩阵。
m = n - svd(A,'econ') 等效于 svd(A)。
m < n - 只计算 V 的前 m 列，S 是一个 m×m 矩阵。

`[U,S,V] = svd(A,0)`

m > n - svd(A,0) 等效于 svd(A,'econ')。
m <= n - svd(A,0) 等效于 svd(A)。

注意事项

如果矩阵很大并且是稀疏矩阵，则使用 svd 来计算所有奇异值和向量在某些情况下可能会不太切合实际。例如，如果您只需了解几个最大的奇异值，则计算一个 5000×5000 稀疏矩阵的所有奇异值会带来大量额外工作。在只需要一部分奇异值和向量的情况下，svds 函数优先于svd。

对于可作为满矩阵 full(A) 载入内存的较小矩阵，使用 svd(full(A)) 的速度可能仍旧快于使用 svds。但对于确实很大的稀疏矩阵，就有必要使用 svds。

待解决

Hermitian转置

奇异值分解SVD