图论第二章.图 知识总结

1.图的基本概念

1.1图的定义及相关概念

无向图：

一个无向图G是一个有序二元组,记作G=其中集合V中的元素被称为结点，E是无序积，称E为G的边集，E中的元素称为无向边或简称为边。如图1所示
　　　　　　

图１
 

有向图：

与无向图不同，有向图G中的E是笛卡尔积V×V的多重子集，称其元素为有向边或弧。如图2所示：　　　　　　　　　　　　　　

图２
 像图1一样给图的结点和边都标记名称的图称为标定图，当e=(u,v)时，称u和v是e的 端点，并称e与u、v是 关联的，而结点u与v是 邻接的。若两条边关联与同一个结点，则称两边是 相邻的。 若一条边关联的两个结点重合，则称此边为环或自回路。
 如果结点集V和边集E都是有限集，则称图为 有限图。在图G=中，若|V|=n，|E|=M,则称G是 n阶图；若|V|=n，|E|=0，则称G为 n阶零图；若|V|=1，|E|=0，则称G是 平凡图。

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1.2结点的度

定义：

设G=为一无向图，v∈V，与v相关联边的次数称为v的度，记作deg（v），简称d（v）。
　设G=为一有向图，v∈V，ｖ作为边的始点的次数称为ｖ的出度，记作deg＋（v）；v作为边的终点的次数称为v的入度，记作deg-（v）。v作为边的端点的次数记为v的度数，记作deg(v)，很显然，deg(v)=deg＋（v）+deg-（v）。
　称度为1的结点为悬挂点，与悬挂点关联的边称为悬挂边。
　关于结点的度还有以下定义：
　 

握手定理及其推论☆☆（非常重要）：

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1.3完全图、补图、正则图和子图

完全图：

 设G=为简单无向图，若任意两个结点之间都有边相连，则称G为完全图，具有n个结点的完全图记作Kn。
　设G=为简单有向图，若每对结点间均有一对方向相反的边相连，则称G为有向完全图，具有n个结点的完全图记作Dn。
　
　无向完全图的边数为$C_n^2$＝$\frac{n(n-1)}{2}$。有向完全图$D_n$的边数显然是无向完全图$K_n$的二倍$n(n-1)$。
　 

正则图：

定义：在一个简单无向图中，如果每个结点的度数均为$k$，则该图称为$k$-正则图。
 

补图：

定义：给定一个图G，以G中所有结点为结点集，以所有能使G成为完全图所添加边为边集组成的图，称为G相对于完全图的补图，记作$\overline{\text{G}}$。

 

子图：

若结点相同，边为子集称生成子图。
导出子图分两种：1.以两个端点均在结点集V中的边组成边集，称V导出的子图 2.以与边集E相关联结点组成结点集的图称为E导出的子图。

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1.4图的同构☆

定义：
　定义2.1.8说明，两个图的结点之间，如果存在双射函数，而且这种双射函数保持了结点之间的邻接关系且边的重数不变，则这两个图是同构的。
　同构的必要条件有三：1.顶点数相同 2.边数相同 3.度数序列相同

2.图的连通性☆

2.1 通路

定义：

　简单无向图中最小长度为3
　若通路的边$e_1,e_2,...e_n$互不相同，则成为简单通路（边不同）;如果它满足$v_0=v_n$则称为简单回路。
　如果一条通路中结点$v_0,v_1,v_2,...v_n$互不相同，则称为路径（顶点不同）。
　如果一条回路的起点和内部结点互不相同，则称为圈。一般长度为$k$的圈称为$k$圈，长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。
 

关键定理：

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2.2图的连通性

定义：

 在一个无向图G中，若存在从结点$v_i$到$v_j$的通路，则称$v_i$与$v_j$是连通的。
 

连通图：

 若无向图G中任意两个结点都是连通的，则称图G是连通图。

  若G为连通图，则$\omega (G)=1$,若G为非连通图，则$\omega (G)\ge 2$。

 

重要定义：

 设D是一有向图，若去掉D中各边方向后所得无向图是连通的，则称D是弱连通图；如果D中任意两结点$v_i$和$v_j$之间，有$v_i$到$v_j$可达或者$v_j$到$v_i$可达，则称图D是单向连通图;若D中任意两结点都互相可达，则称D是强连通图。
　强连通图的充分必要条件：一个回路中至少包括Ｇ中每个分结点
　图中，a为强连通图，b为单向连通图，c为弱连通图
　

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2.3无向图的连通度☆☆☆☆☆

点割集与边割集：

简而言之， 割点是无向连通图中的一个特殊的点， 删去中这个点后， 此图不再连通， 而所以满足这个条件的点所构成的集合即为割点集合，还有一个要求，点割集中不能出现割点。

边割集的概念参考点割集。

 

连通度：

点连通度就是使连通图G成为一个不连通图需要删除的点的最小数目，记为K，则图也可称作K-连通图，边连通度同理
 

重要定理证明☆☆☆☆：

即证明点割集≤边割集≤最小度
 

通过G - {v}来证明充分性和必要性

 

扩大路径法☆☆☆☆：

 

二部图：

准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交子集 ，使得每一条边都分别连接两个集合中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。

二部图判定定理：一个无向图G=是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。
 

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3.图的矩阵表示☆☆

3.1无向图的关联矩阵

 

3.2无环有向图的关联矩阵（点与边的关系）

 

3.3有向图的邻接矩阵（点与点的关系）☆☆☆

 

3.4无向简单图的邻接矩阵

 

3.5有向图的可达矩阵

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4.欧拉图与哈密顿图

4.1欧拉图

定义☆（记结论）：

 

定理及推论：

  G是欧拉图的充分必要条件是G是连通图且没有奇度结点

 G是半欧拉图的充分必要条件是欧拉路的起点和终点是G种仅有的两个奇度结点

 

有向欧拉图：

 

4.2哈密顿图☆☆☆☆

定义：

必要条件☆☆☆☆（会证明）：

有割点或者有桥的图不一定是欧拉图，但肯定都不是哈密顿图。

二部图是否是哈密顿图：

充分条件(记结论):