DM@命题逻辑@联结词完备集

abstract

• $n$元真值函数和$n$元命题公式间的对应关系
• 由$n$元真值函数引入联结词的完备集概念
  • 这从理论上解释了为什么仅使用$\neg ,\vee ,\wedge$三个联结词就可以表示任意命题公式
  • 甚至可以用更少的联结词(比如2个或1个)来描述任意命题公式
  • 高级联结词与非联结词和或非联结词可以单独构成联结词完备集

联结词的完备集

$n$元真值函数

• 定义$F:\{0,1{\}}^n\to 0,1$为**$n$元真值函数**

  • 函数$F$的自变量为$n$个命题变项
  • 定义域$\{0,1{\}}^n$=$\{0\cdots 0,0\cdots 1,\cdots ,1\cdots 1\}$,即有$0,1$组成的长度为$n$的符号串全体
  • 值域为$\{0,1\}$

• $n$个命题变项可以构成$2^{2^n}$个不同的真值函数(类比于$n$元命题公式共有$2^{2^n}$张不同的真值表)

  • 不妨设所有$n$元函数全体构成的函数集合为$S(n)$
  • 函数$f_1(x_1,\cdots ,x_n)\in S(n)$在$2^n$个赋值下分别有$2^n$个函数值,记为$f_1({\mathbf{x}}_1),\cdots ,f_1({\mathbf{x}}_n)$
  • 类似的设函数$f_j$在$2^n$个赋值下的$2^n$个函数值,记为$$f_2({\mathbf{x}}_1),\cdots ,f_2({\mathbf{x}}_n)$$
  • 若存在$r\in \{1,\cdots ,2^n\}$使得$f_1({\mathbf{x}}_r)\ne f_2({\mathbf{x}}_r)$说明$f_1,f_2$是不同的函数,否则相同
  • 显然,$f({\mathbf{x}}_i)$函数取值仅有2种可能(0或1),$i=1,\cdots ,2^n$;若逐个指定$f$在$2^n$个自变量赋值下的函数值,将这$2^n$个函数值构成的序列记为$y_1\cdots y_{2^n}$($y_i\in \{0,1\}$,$i=1,\cdots ,2^n$),则可以构成$2^{2^n}$个不同的序列,对应$2^{2^n}$个真值表(函数)

• 在不需要讨论具体函数而只需知道其变量个数时,不妨将$n$元真值函数记为$F^{(n)}$,若需要区分不同的函数,则指定下标:$F_i^{(n)}$

  • 例如,一元真值函数有$2^{2^1}=4$个

    • $x_1$	$F_0^{(1)}$	$F_1^{(1)}$	$F_2^{(1)}$	$F_3^{(1)}$
      0	0	0	1	1
      1	0	1	0	1

真值函数和命题公式的对应关系

• 每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式,每个命题公式又都有唯一等值的主析取范式
• 主合取范式和主析取范式相仿
• 每个真值函数对应于无穷多个等值的命题公式,每个命题公式又都对应唯一的真值函数

联结词完备集

• 设$S$是一个联结词集合,若任何$n(n⩾1)$元真值函数都可以由仅含$S$中的联结词构成的公式表示,则$S$是联结词完备集
• $S=\{\neg ,\vee ,\wedge \}$是联结词完备集
• 证明:
  • 任何$n(n⩾1)$元真值函数都可以表示成唯一的一个主析取范式(真值函数$\to$(变量-函数值表)真值表$\to$主析取范式)
  • 而主析取范式中仅含$\{\neg ,\vee ,\wedge \}$中的联结词,所以$S=\{\neg ,\vee ,\wedge \}$是联结词完备集

推论

• 设$S$是一个联结词完备集
  • 若为$S$添加更多联结词,得到$S_0$,则$S_0$也是完备集(包含冗余)
    • 例如:{$\neg ,\vee ,\wedge ,\to$};{$\neg ,\vee ,\wedge ,\to ,\leftrightarrow$}
  • 若$S$中的某个联结词$c_0$可以被$S$中的其他联结词(设它们构成$S$的子集$S_0$)表示,则$S_0$也是联结词完备集
    1. $S_1$={$\neg ,\vee$}
       • 因为$p\wedge q$ $\iff$ $\neg (\neg p\vee \neg q)$
    2. $S_2$={$\neg ,\wedge$}
       • 因为$p\vee q$ $\iff$ $\neg (\neg p\wedge \neg q)$
  • 若联结词完备集$S$能被另一个联结词集合$S_0$中的联结词表示简称$S$能被$S_0$表示,则$S_0$也是联结词完备集
    1. $S_3$={$\neg ,\to$}
       • 考虑到$p\to q$ $\iff$ $\neg p\vee q$以及$p=\neg \neg p$
       • 有$p\vee q$ $\iff$ $\neg \neg p\vee q$ $\iff$ $\neg p\to q$
       • 可见$S_3$能够表示$S_2$,所以$S_3$也是联结词完备集

常见的复合(高级)联结词

与非联结词

• 设$p,q$是两个命题,复合命题"$p$与(合取)$q$的否定式"$(\neg (p\wedge q))$称作$p,q$的与非式,记为$p\uparrow q=\neg (p\wedge q)$

• $\uparrow$是与非联结词

• 显然$p,q$不同时为真时,$p\uparrow q$为真

• p	q	$p\uparrow q$
  0	0	1
  0	1	1
  1	0	1
  1	1	0

或非联结词

• 复合命题"$p$或(析取)$q$的否定式"称作$p,q$的或非式,记为$p\downarrow q$=$\neg (p\vee q)$

• $\downarrow$称为或非联结词

• 显然仅当$p,q$同时为假时$p\downarrow q$为真

• p	q	$p\downarrow q$
  0	0	1
  0	1	0
  1	0	0
  1	1	0

两个复合联结词的完备性

• {$\uparrow$},{$\downarrow$}都是联结词完备集
  • $\neg p$ $\iff$ $p\uparrow p$ $\iff$ $p\downarrow p$
  • $p\wedge q$ $\iff$ $(p\uparrow q)\uparrow (p\uparrow q)$
  • $p\vee q$ $\iff$ $(p\downarrow q)\downarrow (p\downarrow q)$
  • 又因为$\{\neg ,\vee \}$,$\{\neg ,\wedge \}$,都是完备集,所以结论成立