CSP-J 2023 入门级 第一轮 完善程序（1）

【题目】

CSP-J 2023 入门级 第一轮 完善程序（1）
(1)（寻找被移除的元素）问题：原有长度为n+1、公差为1的等差升序数列；将数列输入到程序的数组时移除了一个元素，导致长度为n的升序数组可能不再连续，除非被移除的是第一个或最后一个元素。需要在数组不连续时，找出被移除的元素。
试补全程序。

#include 
#include 
using namespace std;
int find_missing(vector<int>& nums) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == mid + ①) {
            ②
        } else {
            ③
        }
    }
    return ④
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)cin >> nums[i];
    int missing_number = find_missing(nums);
    if (missing_number == ⑤) {
        cout << "Sequence is consecutive" << endl;
    } else {
        cout << "Missing number is " << missing_number << endl;
    }
    return 0;
}

33. ①处应该填( )
    A. 1 B. nums[0] C. right D. left
34. ②处应该填( )
    A. left = mid + 1 B. right = mid – 1
    C. right = mid D. left = mid
35. ③处应该填( )
    A. left = mid + 1 B. right = mid – 1
    C. right = mid D. left = mid
36. ④处应该填( )
    A. left + nums[0] B. right + nums[0]
    C. mid + nums[0] D. right + 1
37. ⑤处应该填( )
    A. nums[0]+n B. nums[0]+n-1 C. nums[0]+n+1 D. nums[n-1]

【题目考点】

1. 二分查找

【解题思路】

先看主函数

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> nums(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)cin >> nums[i];
    int missing_number = find_missing(nums);
    if (missing_number == ⑤) {
        cout << "Sequence is consecutive" << endl;
    } else {
        cout << "Missing number is " << missing_number << endl;
    }
    return 0;
}

输入n，输入n个元素保存在顺序表nums中，下标0~n-1。根据题目，等差数列公差为1，一共n+1个数字，如果被移除的不是nums[0]，那么这n+1个数字最小值为nums[0]，最大值应该为nums[0]+n，在这n+1个数中移除一个数字。
调用find_missing函数，查找丢失的数字，赋值给missing_number。
如果丢失的数字是(5)，那么输出“序列是连续的”，否则输出丢失的数字。
也就是说如果丢失的数字是n+1个数字中的第1个或最后一个，find_missing函数会返回(5)处应该填的值，此时整个序列就是连续的。

int find_missing(vector<int>& nums) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == mid + ①) {
            ②
        } else {
            ③
        }
     }
     return ④
}

而后看find_missing函数，传入是的nums的引用。看这一代码结构，有left, right, mid，自然是使用了二分查找算法。
设为nums的元素下标从0~nums.size()-1，先将left, right指向nums保存的序列的两端。
只要left < right，每次循环取中点位置mid为mid = left+(right-left)/2，该写法在数学意义上等价于mid = (left+right)/2。

之所以写成mid = left+(right-left)/2，是因为这个写法可以保证即使left+right的值超过int可以表示的数值范围，仍能正确求出(left+right)/2的值

在整数域二分查找算法中，如果取中点的写法为mid = (left+right)/2，那么就是在求满足某一条件的最小值的最小下标。（反之，如果取中点的写法为mid = (left+right+1)/2，那么就是在求满足某一条件的最大值的最大下标。）
该题要找的是缺失的数字，那么二分查找的条件就可以是“大于缺失数字”，二分查找后找到的是“大于缺失数字的最小值的最小下标”。
二分查找的过程中，要始终保持要寻找的值的下标在left~right范围之内。

• 如果mid满足条件“大于缺失数字”，则看看有没有满足条件的更小的数字，取左半边，mid满足条件应该保留在left~right范围之内，所以应该让right = mid。
• 如果mid不满足条件“大于缺失数字”，则应该找更大的数字让其满足条件，取右半边，mid不满足条件应该在left~right范围之外，所以应该让left = mid+1。

设数字序列起始值为s，去掉的数字为s+m。

	0	1	2	…	m-1	m	m+1	…	n-1	n
原数字序列	s	s+1	s+2	…	s+m-1	s+m	s+m+1	…	s+n-1	s+n
去掉m后的序列:nums	s	s+1	s+2	…	s+m-1	s+m+1	s+m+2	…	s+n

可以看到，在下标小于m的范围内，nums[i]的值应该等于s+i，下标大于等于m时，nums[i]的值应该等于s+i-1。
假设去掉的数字不是第一个数字s，起始数字s就是nums[0]，nums[mid]应该与mid+nums[0]比较，(1)处应该填nums[0]，选B。

• 如果nums[mid]的值是mid+nums[0]，那么mid一定小于缺失的数字，不满足条件“大于缺失数字”，应该让left = mid+1，(2)处选A。
• 如果nums[mid]的值不是mid+nums[0]，那么mid一定大于缺失的数字，满足条件“大于缺失数字”，应该让right = mid，(3)处选C。

while循环跳出后，left或right的值就是找到的是"大于缺失数字"的最小值的最小下标，该下标就是上表中的m，缺失的值应该是s+m，也就是代码中的nums[0]+left或nums[0]+right，(4)处选A或B。

如果去掉的数字就是第一个数字s，或最后一个数字，整个序列是连续的序列，无论mid为何值，都满足nums[mid]==mid+nums[0]，按照上述写法运行程序，会不断的改变left，而right不变，直到while循环跳出，此时left与right的值都为right的初始值nums.size()-1，返回值应该为nums[0]+nums.size()-1。
在主函数中，nums的长度nums.size()就是n，因此当整个序列是连续序列时，find_missing函数的返回值missing_number就是nums[0]+n-1，由于序列连续公差为1，nums[0]+n-1就是nums[n-1]。
而当缺失的数字是大于nums[n-2]，小于nums[n-1]的数字时，求大于缺失数字的最小值的最小下标，得到的结果（while循环跳出后left或right的值）也是n-1，find_missing函数返回的值也是nums[0]+n-1，此时nums[0]+n-1不为nums[n-1]。
所以只有返回的nums[0]+n-1的值与nums[n-1]的值相等时，序列才是连续的。
(5)处选D。

【答案】

33. B
34. A
35. C
36. A或B
37. D