矩阵求导数

矩阵 A = ∣ 1 2 1 2 − 1 3 ∣ , 计算 f ( x ) = ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 的最大值。 矩阵A = \begin {vmatrix} 1 & 2 & 1\\2 & -1 & 3 \end {vmatrix},计算f(x) = \frac{||Ax||_2}{||x||_2}的最大值。 矩阵A= ​12​2−1​13​ ​,计算f(x)=∣∣x∣∣2​∣∣Ax∣∣2​​的最大值。

解：

根据导数定义和性质，极值处导数为0。首先求出矩阵的导数，置为0后求解。

首先 f ( x ) = ∣ x 1 x 2 x 3 ∣ ∣ 1 2 2 − 1 1 3 ∣ ∣ 1 2 1 2 − 1 3 ∣ ∣ x 1 x 2 x 3 ∣ x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ∣ x 1 x 2 x 3 ∣ ∣ 5 0 7 0 5 − 1 7 − 1 10 ∣ ∣ x 1 x 2 x 3 ∣ x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 f(x) = \frac{ \begin {vmatrix} x_1 x_2 x_3 \end {vmatrix} \begin {vmatrix} 1 & 2 \\2 & -1 \\1 & 3 \end {vmatrix}\begin {vmatrix} 1 & 2 & 1\\2 & -1 & 3 \end {vmatrix} \begin {vmatrix} x_1\\ x_2\\x_3 \end {vmatrix} }{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} =\\ \frac{ \begin {vmatrix} x_1 x_2 x_3 \end {vmatrix} \begin {vmatrix} 5 & 0 & 7\\0 & 5 & -1 \\7 & -1 & 10\end {vmatrix} \begin {vmatrix} x_1\\ x_2\\x_3 \end {vmatrix} }{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} f(x)=x12​+x22​+x32​ ​x1​x2​x3​​ ​ ​121​2−13​ ​ ​12​2−1​13​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​​=x12​+x22​+x32​ ​x1​x2​x3​​ ​ ​507​05−1​7−110​ ​ ​x1​x2​x3​​ ​​

考虑矩阵$x^T{A}^{T}Ax$求导:

$$\begin{gathered} (x+\Delta x{)}^T{A}^{T}A(x+\Delta x)=(x^T+\Delta x^T)A^{T}A(x+\Delta x)= \\ (x^T{A}^{T}A+\Delta x^T{A}^{T}A)(x+\Delta x)= \\ {x}^T{A}^{T}Ax+x^T{A}^{T}A\Delta x+\Delta x^T{A}^{T}Ax+\Delta x^T{A}^{T}A\Delta x \end{gathered}$$

$注意：上式中每一项都是一个标量，而不是向量。$

$$\begin{gathered} \frac{||(x+\Delta x{)}^T{A}^{T}A(x+\Delta x)-x^T{A}^{T}Ax||}{||\Delta x||}= \\ \frac{||x^T{A}^{T}A\Delta x+\Delta x^T{A}^{T}Ax+\Delta x^T{A}^{T}A\Delta x||}{||\Delta x||}=2A^{T}Ax \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 注意：上式取2A^{T}Ax而不是x^T{A}^{T}A的原因是， \\ \Delta x一般是列向量，需要放在后面，此时需要将矩阵导数放在前面，并转置。 \end{gathered}$$

现在将导数置为0并求解方程组：

$$2A^{T}Ax=0$$ 得：

$此方法对吗?$