HDU 5226 Tom and matrix（组合数学+Lucas定理）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226

题意：给一个矩阵a，a[i][j] = C（i，j）(i>=j) or 0(i < j)，求(x1，y1)，(x2，y2)这个子矩阵里面的所有数的和。

思路：首先可以推导出一个公式C（n，i）+C（n + 1，i）+...+C（m，i） = C（m + 1，i + 1）

知道了这个公式，就可以将子矩阵里每行（或每列）的和值表示成组合数的差值，现在的关键是求出C（n，m）（mod p）.

由于n和m可能很大，p很小，不能直接求，要借助Lucas定理。关于Lucas定理，可参考：http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/09/17/2179591.html。

code：

 1 #include <cstdio>

 2 typedef __int64 LL;

 3 const int MAXN = 100005;

 4 int p;

 5 LL fac[MAXN];

 6 

 7 // 得到阶乘  fac[i] = i! % p

 8 void GetFact()

 9 {

10     fac[0] = 1;

11     for (LL i = 1; i < MAXN; ++i)

12         fac[i] = fac[i - 1] * i % p;

13 }

14 

15 // 快速模幂 a^b % p

16 LL Pow(LL a, LL b)

17 {

18     LL temp = a % p;

19     LL ret = 1;

20     while (b)

21     {

22         if (b & 1) ret = ret * temp % p;

23         temp = temp * temp % p;

24         b >>= 1;

25     }

26     return ret;

27 }

28 

29 /*

30 欧拉定理求逆元

31 (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) x表示b的逆元 并且 b * x = 1 (mod p) 只有b和p互质才存在逆元

32 

33 b * x = 1 (mod p) x是b关于p的逆元

34 

35 b^phi(p) = 1 (mod p)

36 

37 b * b^(phi(p) - 1) (mod p) = b * x (mod p)

38 

39 x = b^(phi(p) - 1) = b^(p - 2)

40 

41 (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p)

42 

43 经过上面的推导，得出：

44 

45 (a / b) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p) (b 和 p互质)

46 

47 */

48 LL Cal(LL n, LL m)

49 {

50     if (m > n) return 0;

51     return fac[n] * Pow(fac[m] * fac[n - m], p - 2) % p;

52 }

53 

54 LL Lucas(LL n, LL m)

55 {

56     if (m == 0) return 1;

57     return Cal(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;

58 }

59 

60 int main()

61 {

62     int x1, y1, x2, y2;

63     while (scanf("%d %d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2, &p) == 5)

64     {

65         if (x2 < y1)    // 预判 子矩阵全部0值区域

66         {

67             printf("0\n");

68             continue;

69         }

70         if (x2 == y1)   // 预判 子矩阵只有右上角值为1，其余为0

71         {

72             printf("1\n");

73             continue;

74         }

75         GetFact();

76         if (x1 < y1) x1 = y1;

77         if (y2 > x2) y2 = x2;

78         LL ans = 0;

79         for (int i = y1; i <= y2; ++i)

80         {

81             if (i > x1)

82                 ans = (ans + Lucas(x2 + 1, i + 1)) % p;

83             else

84                 ans = (ans + Lucas(x2 + 1, i + 1) - Lucas(x1 + 1, i + 1) + Lucas(x1, i)) % p;

85         }

86         printf("%I64d\n", ans);

87     }

88     return 0;

89 }