Denoising diffusion implicit models 阅读笔记

Denoising diffusion probabilistic models (DDPMs)从马尔科夫链中采样生成样本，需要迭代多次，速度较慢。Denoising diffusion implicit models (DDIMs)的提出是为了加速采样过程，减少迭代的次数，并且要求DDIM可以复用DDPM训练的网络。
加速采样的基本思路是，DDPM的生成过程需要从$[T,\cdots ,1]$的序列逐步采样，DDIM则可以从$[T,\cdots ,1]$的子序列采样来生成，通过跳步的方式减少采样的步数。

非马尔科夫的前向过程

DDPM中推理分布（inference distribution）$q({\mathbf{x}}_{1:T}|{\mathbf{x}}_0)$是固定的马尔科夫链。DDIM的作者考虑构造新的推理分布，该推理过程和DDPM优化相同的目标，但能产生新的生成过程。

考虑一个推理分布族Q，由实向量$\sigma \in {\mathbb{R}}_{\ge 0}^T$索引：

根据上面的定义有$q_{\sigma }({\mathbf{x}}_t|{\mathbf{x}}_0)=\mathcal{N}(\sqrt{{\alpha }_t}{\mathbf{x}}_0,(1-{\alpha }_t)I)$。
对应的前向过程也是高斯分布：

通过上面定义的推理过程，前向过程变成了非马尔科夫的，因为每一步都依赖${\mathbf{x}}_0$。
参数$\sigma$控制前向过程的随机性，如果$\sigma \to 0$，那么在已知${\mathbf{x}}_0$和其中任一个${\mathbf{x}}_t$的情况下，${\mathbf{x}}_{t-1}$是固定的。

根据上面的推理过程，定义需要学习的生成过程为：

其中

根据上面的定义的推理过程和生成过程，优化的目标是

可以证明该优化目标和特定情况下DDPM的优化目标相同。

逆向生成过程的采样方法如下：

选择不同的$\sigma$值会导致不同的生成过程，但它们使用相同的${ϵ}_{\theta }$模型。
如果${\sigma }_t=\sqrt{(1-{\alpha }_{t-1})/(1-{\alpha }_t)}\sqrt{(1-{\alpha }_t)/(1-{\alpha }_{t-1})}$，那么前向过程又变成了马尔科夫的，生成过程和DDPM一样。
如果${\sigma }_t=0$，那么随机噪声前的系数是0，${\mathbf{x}}_0$和${\mathbf{x}}_T$之间的关系是固定的，这属于隐概率模型（implicit probabilistic model）。因此，作者把这种情况称为denoising diffusion implicit model (DDIM)。

加速

为了加速采样，作者考虑下面的推理过程：

其中$\tau$是长度为S的$[1,\cdots ,T]$的子序列，${\tau }_S=T$，$\overline{\tau }:=\{1,\dots ,T\}\backslash \tau$是除去子序列剩下的序号。
定义
该推理分布对应的生成过程如下：

定义需要学习的概率为：

根据上面的定义的推理过程和生成过程，优化的目标是

可以证明该优化目标和特定情况下DDPM的优化目标相同。
因此，可以利用DDPM训练的网络，但是从子序列采样生成图像。