20211003：数字滤波器前置知识，sinc函数与Sa函数

sinc函数和Sa函数对比解析

原理分析

1. sinc函数，又称辛格函数。表达式为：

$$sinc(t)=sin(\pi t)/(\pi t)$$

傅里叶变换后的形式为：
$$u[(w+1)/pi)]-u[(w-1)/pi)]$$
2.Sa函数，又称采样函数，表达式为：
$$Sa(t)=sin(t)/t$$
傅里叶变换后的形式为：
$$pi\ast [u(w+1)-u(w-1)]$$
起始二者的区别只在于是否归一化。

仿真示例

仿真示例与代码：

clc; clear all; close all;
% Author： @IMMUNIZE
dt=0.01;
fs=1/dt;
t=-100:dt:100-dt
sinct=sin(pi*t)./(pi*t);
Sa = sin(t)./t;
subplot(4,1,1);
plot(t,sinct);
xlim([-8,8]);
title('sinct/t时域');
subplot(4,1,3);
plot(t,Sa);
xlim([-8,8]);
N=2^20*32;
sincf=fft(sinct,N);
Saf = fft(Sa,N);
f=-fs/2:fs/N:(fs/2-fs/N);
title('Sa/t时域');
subplot(4,1,2);
plot(f,fftshift(abs(sincf))/max(abs(sincf)))
axis([-10 10,0,1]);
title('sinct/t频域');
subplot(4,1,4);
plot(f,fftshift(abs(Saf))/max(abs(Saf)))
axis([-10 10,0,1]);
title('Sa/t频域');

绘制图形为：

注意细节

另外请注意虽然频域上是个矩形，其作为滤波器的矩行系数为1，不可实现，另有，反推之其时域为非因果系统，而非因果系统在物理上同样是不可实现的，因此实际应用中我们都只能尽可能的逼近而做不到完全理想。如此即为数字滤波器的基本前置知识。