【数据结构】数组模拟堆

大根堆/小根堆定义

• 大根堆：任意一个节点的值大于等于它的子节点的值的二叉堆
• 小根堆：任意一个节点的值小于等于它的子节点的值的二叉堆

---

数组存储树结构

• 根节点在数组中的位置是1
• 第n个位置的子节点分别在2n和 2n+1，因此，第1个位置的子节点在2和3，第2个位置的子节点在4和5，以此类推
• 节点n的父节点为n/2（向下取整）
  

---

up操作

如图，该二叉堆是一个大根堆（数字代表节点值）

假设节点值被修改为2，那么2要被调整到上面，也就是所谓的up操作

---

down操作

接上，如果该节点被修改为8，那么它就应该沉下去，也即是对应于down操作

代码

• 对于一个根节点u，找出它本身、左儿子、右儿子三者中最小的数字，如果不是根节点本身，就与根节点进行交换，然后继续down下去

void down(int u)
{
    int t=u,left=2*u,right=2*u+1;
    if(left<=sizen&&h[left]<h[t]) t=left;
    if(right<=sizen&&h[right]<h[t]) t=right;
    if(u!=t)
    {
        swap(h[t],h[u]);
        down(t);
    }
}   

堆的各类操作汇总

图片来源：acwing

• 插入操作：相当于在数组末尾加上数字（对应++size），然后执行up操作
• 求最小值：直接访问h[1]即可
• 删除最小值：h[1]替换为h[size]，然后把size–，相当于剔除h[1]
• 删除任意元素：将h[k]替换为h[size]，size–，之后执行up和down操作，相当于剔除h[k]

---

简单应用题

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

#include 
#include 

using namespace std;

const int N= 1e5+10;

int n,m,sizen;
int h[N];

void down(int u)
{
    int t=u,left=2*u,right=2*u+1;
    if(left<=sizen&&h[left]<h[t]) t=left;
    if(right<=sizen&&h[right]<h[t]) t=right;
    if(u!=t)
    {
        swap(h[t],h[u]);
        down(t);
    }
}   

int main()
{
    cin>>n>>m;
    sizen=n;
    for(int i=1;i<=n;i++ ) cin>>h[i];
    //注意到要从n/2开始down操作，直到down到1，n/2表示二叉堆的最后一个节点的父节点
    for(int i=n/2;i>=1;i--) down(i);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cout<<h[1]<<' ';
        h[1]=h[sizen];
        sizen--;
        down(1);
    }
    return 0;
}