AM@定积分的基本概念和性质

abstract

• 定积分的基本概念和性质

引言

曲边梯形面积

• 设$y=f(x)$在区间$[a,b]$上非负连续,由直线$x=a$,$x=b$,$y=0$以及曲线$y=f(x)$所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边
• 曲边梯形的面积$S_1$可以分割为一系列小区间的窄曲边梯形面积的和,窄曲边梯形的面积近似为窄矩形面积,因此可以用一系列的窄矩形面积之和$S_2$近似曲边梯形面积
• 若把$[a,b]$无限细分下去(得到无穷多个小区间),即,使得每个小区间的长度$\Delta x_i$,$i=1,2,\cdots ,n$,$(n\to \infty )$都趋于0(或者令所有小区间中最大的一个趋于0,则其余区间必然也趋于0),并把这时候所有窄矩形面积之和$S_2$的极限可以定义为曲边梯形的面积$\underset{\Delta x_i\to 0}{\lim }{S}_2=S_1$
  • 设小区间$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$;任取${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$,再令$\lambda =\max (\Delta x_1,\cdots ,\Delta x_n)$
  • 则这个极限值与曲边梯形面积关系表示为$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$
• 利用这个定义,可以计算曲边梯形的面积

变速直线运动的路程

• 该问题模型也是由类似与曲边梯形面积的数量关系:$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}v({\tau }_i)\Delta t_i$

定积分

• 从上述两个例子中抽象出数量关系,便得到定积分的定义

• 设函数$f(x)$在$[a,b]$上有界,在$[a,b]$中任意插入若干个分点$a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$,把$[a,b]$划分为$n$个小区间$[x_0,x_1],\cdots ,[x_{n-1},x_n]$,各个小区间的长度依次为$\Delta x_i$=$x_{i-1}-x_{i-1}$,$i=1,2,\cdots ,n$

• 每个小区间上任意取一个点${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$,作函数值$f({\xi }_i)$与小区间长度$\Delta x_i$的乘积$f({\xi }_i)\Delta x_i$,$(i=1,2,\cdots ,n)$,求和$S={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

• 令$\lambda =\max (\Delta x_1,\cdots ,\Delta x_n)$,若$\lambda \to 0$时,$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$=$I$总是存在,且与闭区间$[a,b]$的分法和${\xi }_i$的取法无关,则该极限$I$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分,简称积分,记为${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

定积分式相关概念

• 其中$f(x),f(x)\mathrm{d}x,x$分别称为被积函数,被积表达式,积分变量,

• $a,b$分别称为积分下限和积分上限,$[a,b]$称为积分区间

• ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$称为积分和

• 若$f(x)$在$[a,b]$上的定积分存在,则称,$f(x)$在$[a,b]$上可积

• 由于定积分是基于极限定义的,而极限可以由$ϵ-\delta$语言描述的,参考极限的$ϵ-\delta$语言描述,可以给出定积分的$ϵ-\delta$描述

可积的充分条件(定理)

• 设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续,则$f(x)$在$[a,b]$上可积
• 设$f(x)$在区间$[a,b]$上有界,并且只有有限个间断点,则$f(x)$在$[a,b]$上可积
  • 显然,定理1是定理2的特例情况

定积分相等于字母替换

• 当上述极限$I$存在时,其仅与被积函数$f$和积分区间$[a,b]$有关
  • 若不改变积分函数也不改变积分区间,仅仅替换积分变量字母(比如$x$替换为$u$),定积分结果相等
  • 即,定积分的值与积分变量的记法无关
  • 例如:${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{b}f(u)\mathrm{d}u$

定积分计算补充约定

• 为了计算和应用的方便,对定积分作两点补充规定:
  1. 当$b=a$时,${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0$
  2. 当$a>b$时,${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$
     • 即交换定积分的上下限时,定积分的绝对值不变而符号相反
     • 从而,积分下限可以大于积分上限

定积分性质

• 定积分恒等式和定积分不等式

线性运算法则

• 设$\alpha ,\beta$均为常数,则$f_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))\mathrm{d}x$=$\alpha {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$+$\beta {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$
  • 由极限运算法则容易证明
  • 对于任意有限个函数的线性组合也成立

可加性

• ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$+${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$(1)即,定积分对于积分区间有可加性
• 证明:设$a<b<c$
  • 因为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上积分,所以无论怎样划分$[a,b]$,积分和的极限总是不变的
  • 在分区间时,可以使$c$永远是个分点,则$[a,b]$上的积分和等于$[a,c]$上的积分和加上$[c,b]$上的积分和,记为$\sum _{[a,b]}f({\xi }_i)\Delta x_i$=$\sum _{[a,c]}f({\xi }_i)\Delta x_i+\sum _{[c,b]}f({\xi }_i)\Delta x_i$
  • 两端同时取$\lambda \to 0$的极限,${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$+${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$
  • 再由补充约定2,不论$a,b,c$相对位置如何,总有(1)式成立
    • 例如,当$a<b<c$,由可加性可知${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$+${\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x$,
    • 即${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$-${\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x$
    • 所以由补充约定2,${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$+${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$,式(1)仍然成立

常数1的定积分

• 若在区间$[a,b]$上,$f(x)=1$,则${\int }_a^{b}1\mathrm{d}x$=${\int }_a^b\mathrm{d}x$=$b-a$

保号性

• 若区间$[a,b]$上$f(x)⩾0$,则${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾0$,$(a<b)$

• 证明:因为$f(x)⩾0$,所以$f({\xi }_i)⩾0$,$(i=1,2,\cdots ,n)$

  • 又由于$\Delta x_i⩾0$,$(i=1,2,\cdots ,n)$,因此积分和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i⩾0$
  • 令$\lambda =\max \{\Delta x_1,\cdots ,\Delta x_n\}\to 0$,即得${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾0$

• 推论:若区间$[a,b]$上,$f(x)⩽g(x)$,则${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$,$(a<b)$

  • 令$h(x)=g(x)-f(x)$,由条件$h(x)⩾0$,从而${\int }_a^{b}h(x)\mathrm{d}x⩾0$,即${\int }_a^b[g(x)-f(x)]\mathrm{d}x⩾0$,由定积分线性运算法则,${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$

• 推论:$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$

  • 因为$-|f(x)|⩽f(x)⩽|f(x)|$,所以$-{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$ $⩽$ ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ $⩽$ ${\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$(1)
  • 由绝对值不等式可(1)可以改写为$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$

定积分最值(定积分估计定理)

• 设$M,m$分别是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上得最大值和最小值,则$m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)$,$(a<b)$
  • 由保号性和常数1的定积分易证
  • ${\int }_a^{b}m\mathrm{d}x$ $⩽$ ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ $⩽$ ${\int }_a^{b}M\mathrm{d}x$
  • $m{\int }_a^{b}1\mathrm{d}x$ $⩽$ ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ $⩽$ $M{\int }_a^b\mathrm{d}x$
  • $m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)$

定积分中值定理(函数在区间上的平均值)

• 若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续,则$[a,b]$上至少有一点$\xi$,使得${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$f(\xi )(b-a)$,$(a⩽\xi ⩽b)$(该公式称为积分中值公式)

• 证明:

  • 由定积分估计定理,$m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)$,两边同时除以$b-a$,

  • 得$m$ $⩽$ $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ $⩽$ $M$

  • 因此,令$t=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$,则$t\in [m,M]$,$t$是一个确定的数值;

  • 再根据闭区间上连续函数的介值定理的推论,$[a,b]$上至少有点$\xi$,使得$f(x)$在点$\xi$处的值与这个确定的数值相等,即$t=f(\xi )$,$(a⩽\xi ⩽b)$

  • 两端乘以$b-a$,得$t=f(\xi )(b-a)$,即得定理结论

• 由积分中值公式,$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$称为函数$f(x)$在$[a,b]$上的平均值(曲边梯形的平均高度)