机器学习笔记3——模型评估与选择（二）

凡事都要有个标准，仅仅看实验测试的表现还不够，衡量泛化能力还需要有一套评价标准，也叫做性能度量（performance measure）。当然标准也可以有好几套，从不同维度和侧重来评价。这同时也反映了模型的好坏是相对的，换一个标准评价的结果是不一样的。没有最好的，只有最合适的。

一、性能度量

1、错误率与精度

这是分类任务最常用的两种性能度量。

错误率 = 分类错误的数量 / 样本总数

精度 = 分类正确的数量 / 样本总数

错误率 + 精度 = 1

2、查准率、查全率与F1

错误率和精度能够衡量有多少比例的美女被doudog识别错误或识别正确。但有时候我想知道，在doudog认为是女神的美女中有多少真的是女神，或者所有的女神中有多少被doudog识别出来了。这句话有点拗口，换个说法容易理解：被杀的里面有多少是该杀的，该杀的里面有多少没杀。前者是查准率（precision），后者是查全率（recall）。

提高查准率要“疑罪从无”，漏网1000不能错杀1个；提高查全率要“疑罪从有”，错杀1000不能漏网1个。因此查准率和查全率是一对矛盾的度量。

如果按照最可能是——>最不可能是的顺序，对模型的预测结果排序，并按照这个顺序依次计算每个样本当前的查准率和查全率，计算时要假设当前计算的样本是正例（是女神），然后以查准率为纵轴、查全率为横轴作图，就得到查准率-查全率曲线（P-R曲线）。

把不同模型的P-R曲线绘制到同一坐标轴上，就可以有如下判断：

· 若A的曲线完全包住B的曲线（没有交叉），则A的性能优于B；

· 若A的曲线与B的曲线交叉，则曲线下面积大的性能优；
· 若A的曲线的平衡点取值大于B的曲线平衡点取值，则A的性能优于B；

平衡点（Break-Even Point， BEP）是查准率 = 查全率时的取值。

BEF过于简单，常用的是基于查准率与查全率的调和平均，即F1。

F1 = 2 * P * R / （P + R），其中P为查准率，R为查全率。

但在不同的任务中，常常对查准率和查全率的重视程度不一样，比如网络营销希望更准确的向目标客户推送产品信息，更加关注查准率；警察叔叔则希望不漏掉一个逃犯，更加关注查全率。因此，定义了一个F1的一般形式Fβ，以表达对查准率或查全率的偏好：

Fβ = （1 + β方） * P * R / （（β方 * P） + R）， 其中β > 0

β = 1， Fβ = F1

β > 1，更关注查全率

β < 1，更关注查准率

3、ROC与AUC

doudog识别女神的方法可以这样，通过对每位美女的特征数据建模，最后计算出一个实值或者概率，然后将这个值与分类阈值比较，大于阈值则为女神，否则为女汉子。多数学习算法都是这个套路。因此，我们对测试样本可以按照最可能是——>最不可能是排序，然后设定一个截断点一分为二，前一部分就是女神，后一部分就是女汉子。

如果更关注查准率，可以把截断点往前提，如果更关注查全率，则可以把截断点往后推。

在上面的排序基础上，依次对每个样本（假设当前样本是正例）计算真正例率（True Positive Rate，TPR）和假正例率（False Positive Rate，FPR）。以真正例率为纵轴、假正例率为横轴作图，就得到ROC（Receiver Operating Characteristic，受试者工作特征）曲线。

真正例指模型预测是正例，真实情况也确实是正例，真正例率就是真正例在实际真实正例中的比例，即该杀的有多少被杀了，对应查全率。

假正例指模型预测是正例，但真实情况是反例，假正例率就是假正例（实为反例）在实际真实反例中的比例，即不该杀的有多少被杀了，对应查准率。

ROC曲线对模型进行比较时，与P-R图的比较原则类似。

两个ROC曲线交叉时要比较曲线下的面积，即AUC（Area Under ROC Curve）。

4、代价敏感错误率与代价曲线

如果doudog把一位女神错判为女汉子，这位女神可能会发飙，如果把女汉子错判为女神，那这位女汉子可能会很开心。如果医院的医疗系统把癌症患者错判为健康人，后果将涉及人命，反过来如果把健康人错判为癌症患者，那后果只是虚惊一场。同样是犯错误，代价却不一样。

因此，单纯以错误次数为基础来评估错误率、查全率或者查准率是不完善的，毕竟我们真正要得到的是损失最低、代价最小的模型。这就要为错误定义“非均等代价”（unequal cost）。

可令COSTij为把i类样本错判为j类样本的代价，对所有类型错误的数量与其错误代价的乘积求和，再除以样本总数量，就得到代价敏感（cost-sensitive）错误率。

与ROC以真正例率为纵轴、假正例率为横轴类似，以归一化代价为纵轴、正例概率代价为横轴作图，就得到代价曲线（cost curve）。

令p是样例为正例的概率，FPR为假正例率，FNR为假反例率，可以得到归一化代价和正例概率代价：

归一化代价COSTnorm = ( FNR * p * cost01 + FPR * ( 1 - p ) * cost10 ) / (p * cost01 + ( 1 - p ) * cost10 )

正例概率代价P(+)COST = p * cost01 / ( p * cost01 + ( 1 - p ) * cost10 )

归一化代价和正例概率代价的取值范围均为[0, 1]。

ROC曲线上的每一个点（FPR, TPR）都对应了代价曲线上的一条线段，在代价曲线坐标中，绘制一条从（0, FPR）到（1, FNR）的线段，FNR = 1 - TPR，线段下的面积就表示了该条件下的期望总体代价。画出ROC曲线上所有点对应的线段，所有线段的下界围成的面积就是这个模型的期望总体代价。

这一段儿一会儿FPR一会儿TPR一会儿又FNR，有点绕，看一遍肯定乱七八糟，看两遍若有所懂，看三遍，我发现周老师貌似搞了一个小错误。

他的原文是：设ROC曲线上点的坐标为（TPR, FPR）……

但根据前面ROC曲线的定义，纵轴是真正例率（TPR），横轴是假正例率（FPR），那么ROC曲线上的坐标应该为（FRP，TPR）才是。搞反了？还是横纵无所谓，只要前后一致即可？我先机械学习一下，回头再“剪枝”。

二、比较检验

一般我们会训练多个模型，通过实验评估方法测得模型性能度量结果之后，还需要对结果进行比较，这当然不是简单的比大小，而是要运用统计假设检验（hypothesis test）得到模型的泛化性能是否在统计意义上较优。

西瓜书里介绍了二项检验（binomial test）、t检验（t-test）、交叉验证t检验、McNemar检验、Friedman检验与Nemenyi后续检验等几种方法。由于大学概率统计课上经常睡觉，被老师砸过粉笔，这段有阴影的就先掐了不写了。

为了求解阴影面积，我在某东和某当买了两本书：

《概率导论（Introduction to Probability）》，Dimitri P. Bertsekas著

《统计学（Statistics for Engineers and the Sciences）》，William Mendenhall、Terry Sincich著

三、偏差与方差

泛化误差可以分解为偏差、方差与噪声之和，偏差-方差分解（bias-variance decomposition）是解释泛化性能的重要工具。

偏差度量了算法的期望预测与真实结果的偏离程度。

方差度量了同样大小训练集变动导致的性能变化。

噪声涉及问题本身的难度。

综上，泛化性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度共同决定的。

但偏差与方差是有冲突的，即偏差-方差窘境（bias-variance dilemma）。

在训练程度不足时，学习器拟合程度不强，训练数据的扰动不足以产生显著变化，此时偏差主导泛化错误率。

随着训练程度加深，学习器拟合能力增强，训练数据的扰动逐渐可以被学习器学到，方差逐渐主导泛化错误率。

如果继续加深训练，则有可能发生过拟合。

本文为学习思考笔记，难免有错误和不准确之处，欢迎吐糟、探讨。

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