计算机中的树
树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家谱、单位的组织架构、等等；
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的；
树具有以下特点：
- 每个结点有零个或多个子结点；
- 没有父结点的结点为根结点；
- 每一个非根结点只有一个父结点；
- 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
树的相关术语
结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点：度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：树中所有结点的度的最大值树的高度(深度)：树中结点的最大层次
-
森林： m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树；
子结点：一个结点的直接后继结点称为该结点的子结点
父结点：一个结点的直接前驱称为该结点的父结点
兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
二叉树的基本定义
二叉树就是度不超过2的树; 既：每个结点最多有两个子结点；
满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；
二叉查找树的设计
二叉树的结点类
根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们设计一个结点类来描述结点这个事物。
| 类名 | Node |
|---|---|
| 构造方法 | Node(Key key, Value value, Node left, Node right)：创建Node对象 |
| 成员变量 | 1.public Node left:记录左子结点 2.public Node right:记录右子结点 3.public Key key:存储键 4.public Value value:存储值 |
二叉树的主功能类
| 类名 | BinaryTree,Value value> |
|---|---|
| 构造方法 | BinaryTree()：创建BinaryTree对象 |
| 成员变量 | 1.private Node root:记录根结点 2.private int N:记录树中元素的个数 |
| 成员方法 | 1.public int size():获取树中元素的个数 2.public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 3.public Value get(Key key):根据key，从树中找出对应的值 4.public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对 |
二叉查找树实现
插入方法put实现思想：
- 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
- 如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可;
查询方法get实现思想：
从根节点开始：
- 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
- 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
- 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value;
删除方法delete实现思想：
- 找到被删除结点；
- 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode;
- 删除右子树中的最小结点;
- 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树;称为最小结点minNode的右子树 ;
- 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode;
代码实现
public class BinaryTree,Value> {
private Node root;
private int N;
private class Node{
Key key;
Value value;
Node left;
Node right;
public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
public int size(){
return this.N;
}
public void put(Key key,Value value){
this.root = put(this.root,key,value);
}
/**
* 重载put方法，实现递归
* @param node
* @param key
* @param value
*/
private Node put(Node node,Key key,Value value){
// 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
if(node == null){
this.N ++;
return new Node(key,value,null,null);
}else {
// 如果当前树不为空，则从根结点开始：
// 2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
int i = key.compareTo(node.key);
if(i<0){
node.left = put(node.left,key,value);
}else if(i>0){
// 2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
node.right = put(node.right,key,value);
}else {
// 2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可;
node.value = value;
}
}
return node;
}
public Value get(Key key){
// 从根节点开始：
return get(this.root,key);
}
/**
* 重载get方法，实现递归
* @param node
* @param key
* @return value
*/
private Value get(Node node,Key key){
if(node == null){
return null;
}else {
int i = key.compareTo(node.key);
if(i<0){
// 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
return get(node.left,key);
}else if(i>0){
// 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
return get(node.right,key);
}else {
// 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value;
return node.value;
}
}
}
public void delete(Key key){
delete(root,key);
}
/**
* 重载put方法，实现递归
* @param node
* @param key
* @return Node
*/
private Node delete(Node node,Key key){
if(node == null){
return null;
}
int i = key.compareTo(node.key);
if(i<0){
// 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点
node.left = delete(node.left,key);
}else if(i>0){
// 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
node.right = delete(node.right,key);
}else {
// 如果当前节点的右节点为空，则返回左节点
if(node.right == null){
return node.left;
}
// 如果当前节点的左节点为空，则返回右节点
if(node.left == null){
return node.right;
}
// 如果两个节点都存在，则去找 右节点的最小值；
Node midNode = node.right;
while (midNode.left != null){
midNode = midNode.left;
}
// 删除右节点上的最小节点
// 找到右节点最小值
Node temp = node.right;
// 如果右节点temp就是最小节点，表示temp没有左节点了，那就把temp的右节点赋值为 node 的右节点。达到删除teme 的效果
if(temp.left == null){
node.right = temp.right;
}else {
// 否则循环寻找最小值，并且删除最小值
while (temp.left != null){
// 如果右节点最小节点 temp ，存在右节点则把右节点赋值给temp，否则为空,并返回
if (temp.left.right != null) {
temp.left = temp.left.right;
break;
}else if(temp.left.left == null){
temp.left = null;
}else {
temp = temp.left;
}
}
}
midNode.left = node.left;
midNode.right = node.right;
node = midNode;
N--;
}
return node;
}
}
查找二叉树中最小的键
public Key min(){
return min(root).key;
}
// 找出指定树x中最小的键所在的结点
private Node min(Node x){
if(x.left!=null){
return min(x.left);
}else{
return x;
}
}
查找二叉树中最大的键
//找出整个树中最 大的键
public Key max(){
return max(root).key;
}
// 找出指定树x中最小的键所在的结点
private Node max(Node x){
if(x.right!=null){
return max(x.right);
}else{
return x;
}
}
二叉树的基础遍历
二叉树的遍历主要有三种：
- 前序遍历；
先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树 ； - 中序遍历；
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树 ； - 后序遍历；
先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点；
举个例子：
先(根)序遍历（根左右）：E B A D C G F H
中(根)序遍历（左根右） : A B C D E F G H
后(根)序遍历（左右根） : A C D B F H G E
代码实现
- 前序遍历
// 前序遍历 先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树 ；
public MyQueue preErgodic(){
MyQueue keys = new MyQueue<>();
preErgodic(this.root,keys);
return keys;
};
private void preErgodic(Node x,MyQueue keys){
if(x == null){
return;
}
keys.push(x.key);
if(x.left!= null){
preErgodic(x.left,keys);
}
if(x.right !=null){
preErgodic(x.right,keys);
}
}
- 中序遍历
// 中序遍历 先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树 ；
public MyQueue midErgodic(){
MyQueue keys = new MyQueue<>();
midErgodic(this.root,keys);
return keys;
}
private void midErgodic(Node x,MyQueue keys){
if(x == null){
return;
}
if(x.left!= null){
midErgodic(x.left,keys);
}
keys.push(x.key);
if(x.right !=null){
midErgodic(x.right,keys);
}
}
- 后序遍历
// 后续遍历 先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点；
public MyQueue afterErgodic(){
MyQueue keys = new MyQueue<>();
afterErgodic(this.root,keys);
return keys;
}
private void afterErgodic(Node x,MyQueue keys){
if(x == null){
return;
}
if(x.left!= null){
afterErgodic(x.left,keys);
}
if(x.right !=null){
afterErgodic(x.right,keys);
}
keys.push(x.key);
}
二叉树的层序遍历
层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：
层序遍历的结果是：EBGADFHC
实现步骤：
- 创建队列，存储每一层的结点；
-
使用循环从队列中弹出一个结点：
2.1 获取当前结点的key；
2.2 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中;
2.3 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中;
// 有所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，二叉树如下：
public MyQueue layerErgodic(){
MyQueue keys = new MyQueue<>();
MyQueue nodes = new MyQueue<>();
nodes.push(root);
while (!nodes.isEmpty()){
Node node = nodes.get();
keys.push(node.key);
if(node.left!= null){
nodes.push(node.left);
}
if(node.right != null){
nodes.push(node.right);
}
}
return keys;
}
二叉树的最大深度
实现步骤：
- 如果根结点为空，则最大深度为0；
- 计算左子树的最大深度；
- 计算右子树的最大深度；
- 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1;
代码实现
public int maxDepth(){
return maxDepth(root);
}//计算指定树x的最大深度
private int maxDepth(Node x){
//1.如果根结点为空，则最大深度为0；
if(x==null){
return 0;
}
int max=0;
int maxL=0;
int maxR=0;
//2.计算左子树的最大深度；
if(x.left!=null){
maxL=maxDepth(x.left);
}
//3.计算右子树的最大深度；
if(x.right!=null){
maxR=maxDepth(x.right);
}
//4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
max=maxL>maxR?maxL+1:maxR+1;
return max;
}
实际案例（折纸问题）
请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时折痕是凹下去的，即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕；
给定一个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up
分析：我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。
这棵树有这样的特点：
- 根结点为下折痕；
- 每一个结点的左子结点为下折痕；
- 每一个结点的右子结点为上折痕；
实现步骤：
- 定义结点类
- 构建深度为N的折痕树；
- 使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容；
构建深度为N的折痕树：
- 第一次对折，只有一条折痕，创建根结点；
- 如果不是第一次对折，则使用队列保存根结点；
- 循环遍历队列：
3.1 从队列中拿出一个结点；
3.2 如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
3.3 如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
3.4 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
代码实现
public class Node{
String item;
Node left;
Node right;
public Node(String item,Node left,Node right){
this.item = item;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
public void printTree(Node tree){
if(tree == null){
return;
}
printTree(tree.left);
System.out.println(tree.item);
printTree(tree.right);
}
public Node createTree(int number){
Node root = null;
for (int i = 0; i < number; i++) {
if(i == 0){
// 1. 如果是第一次对折，只会有一条折痕，创建根节点
root = new Node("down", null, null);
}else {
// 2. 如果不是第一次对折，则需要用队列保存根节点
MyQueue strings = new MyQueue<>();
strings.push(root);
// 3.循环变量队列
while (!strings.isEmpty()){
// 3.1从队列中拿出一个节点
Node node = strings.get();
// 3.2 如果这个结点的左子结点不为空，则把这个左子结点添加到队列中；
if(node.left != null){
strings.push(node.left);
}
// 3.3 如果这个结点的右子结点不为空，则把这个右子结点添加到队列中；
if(node.right != null){
strings.push(node.right);
}
// 3.4 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空，如果是，则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点，一个值为up的右子结点。
if(node.left == null && node.right == null){
node.left = new Node("down",null,null);
node.right = new Node("up",null,null);
}
}
}
}
return root;
}