九、Java数据结构-二叉树(BinaryTree)

计算机中的树

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构,同时使用树这种数据结构,可以描述现实生活中的很多事物,例如家谱、单位的组织架构、等等;
树是由n(n>=1)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的;

树具有以下特点:

  1. 每个结点有零个或多个子结点;
  2. 没有父结点的结点为根结点;
  3. 每一个非根结点只有一个父结点;
  4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树,称为当前结点的父结点的一个子树;

树的相关术语

  • 结点的度:一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;

  • 叶结点:度为0的结点称为叶结点,也可以叫做终端结点

  • 分支结点:度不为0的结点称为分支结点,也可以叫做非终端结点

  • 结点的层次:从根结点开始,根结点的层次为1,根的直接后继层次为2,以此类推

  • 结点的层序编号:将树中的结点,按照从上层到下层,同层从左到右的次序排成一个线性序列,把他们编成连续的自然数。
    树的度:树中所有结点的度的最大值

  • 树的高度(深度):树中结点的最大层次

  • 森林: m(m>=0)个互不相交的树的集合,将一颗非空树的根结点删去,树就变成一个森林;给森林增加一个统一的根结点,森林就变成一棵树;


  • 子结点:一个结点的直接后继结点称为该结点的子结点

  • 父结点:一个结点的直接前驱称为该结点的父结点

  • 兄弟结点:同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树; 既:每个结点最多有两个子结点;

满二叉树:

一个二叉树,如果每一个层的结点树都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。


完全二叉树:

叶节点只能出现在最下层和次下层,并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树;


二叉查找树的设计
二叉树的结点类

根据对图的观察,我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的,按照面向对象的思想,我们设计一个结点类来描述结点这个事物。

类名 Node
构造方法 Node(Key key, Value value, Node left, Node right):创建Node对象
成员变量 1.public Node left:记录左子结点
2.public Node right:记录右子结点
3.public Key key:存储键
4.public Value value:存储值
二叉树的主功能类
类名 BinaryTree,Value value>
构造方法 BinaryTree():创建BinaryTree对象
成员变量 1.private Node root:记录根结点
2.private int N:记录树中元素的个数
成员方法 1.public int size():获取树中元素的个数
2.public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对
3.public Value get(Key key):根据key,从树中找出对应的值
4.public void delete(Key key):根据key,删除树中对应的键值对
二叉查找树实现
插入方法put实现思想:
  1. 如果当前树中没有任何一个结点,则直接把新结点当做根结点使用
  2. 如果当前树不为空,则从根结点开始:
    2.1 如果新结点的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点;
    2.2 如果新结点的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
    2.3 如果新结点的key等于当前结点的key,则树中已经存在这样的结点,替换该结点的value值即可;
查询方法get实现思想:

从根节点开始:

  1. 如果要查询的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点;
  2. 如果要查询的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
  3. 如果要查询的key等于当前结点的key,则树中返回当前结点的value;
删除方法delete实现思想:
  1. 找到被删除结点;
  2. 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode;
  3. 删除右子树中的最小结点;
  4. 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树,让被删除结点的右子树;称为最小结点minNode的右子树 ;
  5. 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode;
代码实现

public class BinaryTree,Value> {
    private  Node root;
    private int N;

    private  class Node{
        Key key;
        Value value;
        Node left;
        Node right;

        public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

    public int size(){
        return this.N;
    }
    public void put(Key key,Value value){
        this.root = put(this.root,key,value);
    }

    /**
     * 重载put方法,实现递归
     * @param node
     * @param key
     * @param value
     */
    private Node put(Node node,Key key,Value value){
        // 如果当前树中没有任何一个结点,则直接把新结点当做根结点使用
        if(node == null){
            this.N ++;
            return new Node(key,value,null,null);
        }else {
//            如果当前树不为空,则从根结点开始:
//            2.1 如果新结点的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点;
            int i = key.compareTo(node.key);
            if(i<0){
                node.left = put(node.left,key,value);
            }else if(i>0){
//            2.2 如果新结点的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
                node.right = put(node.right,key,value);
            }else {
//            2.3 如果新结点的key等于当前结点的key,则树中已经存在这样的结点,替换该结点的value值即可;
                node.value = value;
            }
       }
        return node;

    }




    public Value get(Key key){
        //    从根节点开始:
        return get(this.root,key);
    }
    /**
     * 重载get方法,实现递归
     * @param node
     * @param key
     * @return  value
     */
    private Value get(Node node,Key key){
        if(node == null){
            return null;
        }else {
            int i = key.compareTo(node.key);
            if(i<0){
//    如果要查询的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点;
                return get(node.left,key);
            }else if(i>0){
//    如果要查询的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
                return get(node.right,key);
            }else {
//    如果要查询的key等于当前结点的key,则树中返回当前结点的value;
                return node.value;
            }
        }
    }

    public void delete(Key key){
        delete(root,key);
    }


    /**
     * 重载put方法,实现递归
     * @param node
     * @param key
     * @return  Node
     */
    private Node delete(Node node,Key key){
        if(node == null){
            return null;
        }
        int i = key.compareTo(node.key);
        if(i<0){
//    如果要查询的key小于当前结点的key,则继续找当前结点的左子结点
            node.left = delete(node.left,key);
        }else if(i>0){
//    如果要查询的key大于当前结点的key,则继续找当前结点的右子结点;
            node.right = delete(node.right,key);
        }else {
            // 如果当前节点的右节点为空,则返回左节点
            if(node.right == null){
                return node.left;
            }
//            如果当前节点的左节点为空,则返回右节点
            if(node.left == null){
                return node.right;
            }

//          如果两个节点都存在,则去找 右节点的最小值;
            Node midNode = node.right;
            while (midNode.left != null){
                midNode = midNode.left;
            }
//          删除右节点上的最小节点
//          找到右节点最小值
            Node temp = node.right;
//            如果右节点temp就是最小节点,表示temp没有左节点了,那就把temp的右节点赋值为 node 的右节点。达到删除teme 的效果
            if(temp.left == null){
                node.right = temp.right;
            }else {
//              否则循环寻找最小值,并且删除最小值
                while (temp.left != null){
//          如果右节点最小节点 temp ,存在右节点则把右节点赋值给temp,否则为空,并返回
                    if (temp.left.right != null) {
                        temp.left = temp.left.right;
                        break;
                    }else if(temp.left.left == null){
                        temp.left = null;
                    }else {
                        temp = temp.left;
                    }
                }
            }
            midNode.left = node.left;
            midNode.right = node.right;
            node = midNode;
            N--;
        }

        return node;
    }
}

查找二叉树中最小的键
    public Key min(){
        return min(root).key;
    }
    // 找出指定树x中最小的键所在的结点
    private Node min(Node x){
        if(x.left!=null){
            return min(x.left);
        }else{
            return x;
        }
    }
查找二叉树中最大的键
    //找出整个树中最 大的键
    public Key max(){
        return max(root).key;
    }
    // 找出指定树x中最小的键所在的结点
    private Node max(Node x){
        if(x.right!=null){
            return max(x.right);
        }else{
            return x;
        }
    }
二叉树的基础遍历

二叉树的遍历主要有三种:

  1. 前序遍历;
    先访问根结点,然后再访问左子树,最后访问右子树 ;
  2. 中序遍历;
    先访问左子树,中间访问根节点,最后访问右子树 ;
  3. 后序遍历;
    先访问左子树,再访问右子树,最后访问根节点;

举个例子:


先(根)序遍历(根左右):E B A D C G F H

中(根)序遍历(左根右) : A B C D E F G H

后(根)序遍历(左右根) : A C D B F H G E

代码实现
  • 前序遍历

//   前序遍历  先访问根结点,然后再访问左子树,最后访问右子树 ;
    public MyQueue preErgodic(){
        MyQueue keys = new MyQueue<>();
        preErgodic(this.root,keys);
        return keys;
    };
    private void preErgodic(Node x,MyQueue keys){
        if(x == null){
            return;
        }
        keys.push(x.key);

        if(x.left!= null){
            preErgodic(x.left,keys);
        }

        if(x.right !=null){
            preErgodic(x.right,keys);
        }
    }
  • 中序遍历

//    中序遍历 先访问左子树,中间访问根节点,最后访问右子树 ;
    public MyQueue midErgodic(){
        MyQueue keys = new MyQueue<>();
        midErgodic(this.root,keys);
        return keys;
    }
    private void midErgodic(Node x,MyQueue keys){
        if(x == null){
            return;
        }

        if(x.left!= null){
            midErgodic(x.left,keys);
        }

        keys.push(x.key);

        if(x.right !=null){
            midErgodic(x.right,keys);
        }
    }

  • 后序遍历

    //   后续遍历  先访问左子树,再访问右子树,最后访问根节点;
    public MyQueue afterErgodic(){
        MyQueue keys = new MyQueue<>();
        afterErgodic(this.root,keys);
        return keys;
    }
    private void afterErgodic(Node x,MyQueue keys){
        if(x == null){
            return;
        }

        if(x.left!= null){
            afterErgodic(x.left,keys);
        }

        if(x.right !=null){
            afterErgodic(x.right,keys);
        }

        keys.push(x.key);
    }
二叉树的层序遍历

层序遍历,就是从根节点(第一层)开始,依次向下,获取每一层所有结点的值,有二叉树如下:



层序遍历的结果是:EBGADFHC

实现步骤:
  1. 创建队列,存储每一层的结点;
  2. 使用循环从队列中弹出一个结点:
    2.1 获取当前结点的key;
    2.2 如果当前结点的左子结点不为空,则把左子结点放入到队列中;
    2.3 如果当前结点的右子结点不为空,则把右子结点放入到队列中;


//    有所谓的层序遍历,就是从根节点(第一层)开始,依次向下,获取每一层所有结点的值,二叉树如下:
    public MyQueue layerErgodic(){
        MyQueue keys = new MyQueue<>();
        MyQueue nodes = new MyQueue<>();
        nodes.push(root);
        while (!nodes.isEmpty()){
            Node node = nodes.get();
            keys.push(node.key);
            if(node.left!= null){
                nodes.push(node.left);
            }
            if(node.right != null){
                nodes.push(node.right);
            }
        }
        return keys;
    }
二叉树的最大深度

实现步骤:

  1. 如果根结点为空,则最大深度为0;
  2. 计算左子树的最大深度;
  3. 计算右子树的最大深度;
  4. 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1;

代码实现


    public int maxDepth(){
        return maxDepth(root);
    }//计算指定树x的最大深度
    private int maxDepth(Node x){
        //1.如果根结点为空,则最大深度为0;
        if(x==null){
            return 0;
        }
        int max=0;
        int maxL=0;
        int maxR=0;
        //2.计算左子树的最大深度;
        if(x.left!=null){
            maxL=maxDepth(x.left);
        }
        //3.计算右子树的最大深度;
        if(x.right!=null){
            maxR=maxDepth(x.right);
        }
        //4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
        max=maxL>maxR?maxL+1:maxR+1;
        return max;
    }
实际案例(折纸问题)

请把一段纸条竖着放在桌子上,然后从纸条的下边向上方对折1次,压出折痕后展开。此时折痕是凹下去的,即折痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次,压出折痕后展开,此时有三条折痕,从上到下依次是下折痕、下折痕和上折痕;
给定一个输入参数N,代表纸条都从下边向上方连续对折N次,请从上到下打印所有折痕的方向例如:N=1时,打印: down;N=2时,打印: down down up


分析:我们把对折后的纸张翻过来,让粉色朝下,这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点,那第二次对折产生的下折痕就是该结点的左子结点,而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点,这样我们就可以使用树型数据结构来描述对折后产生的折痕。

这棵树有这样的特点:

  1. 根结点为下折痕;
  2. 每一个结点的左子结点为下折痕;
  3. 每一个结点的右子结点为上折痕;

实现步骤:

  1. 定义结点类
  2. 构建深度为N的折痕树;
  3. 使用中序遍历,打印出树中所有结点的内容;

构建深度为N的折痕树:

  1. 第一次对折,只有一条折痕,创建根结点;
  2. 如果不是第一次对折,则使用队列保存根结点;
  3. 循环遍历队列:
    3.1 从队列中拿出一个结点;
    3.2 如果这个结点的左子结点不为空,则把这个左子结点添加到队列中;
    3.3 如果这个结点的右子结点不为空,则把这个右子结点添加到队列中;
    3.4 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空,如果是,则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点,一个值为up的右子结点。

代码实现

        public class Node{
            String item;
            Node left;
            Node right;
            public Node(String item,Node left,Node right){
                this.item = item;
                this.left = left;
                this.right = right;
            }
        }

        public void  printTree(Node tree){
            if(tree == null){
                return;
            }
            printTree(tree.left);
            System.out.println(tree.item);
            printTree(tree.right);
        }
        public Node createTree(int number){
            Node root = null;
            for (int i = 0; i < number; i++) {

                if(i == 0){
//                    1. 如果是第一次对折,只会有一条折痕,创建根节点
                    root = new Node("down", null, null);
                }else {
//                    2. 如果不是第一次对折,则需要用队列保存根节点
                    MyQueue strings = new MyQueue<>();
                    strings.push(root);
//                    3.循环变量队列
                    while (!strings.isEmpty()){
//                        3.1从队列中拿出一个节点
                        Node node = strings.get();
//                        3.2 如果这个结点的左子结点不为空,则把这个左子结点添加到队列中;
                        if(node.left != null){
                            strings.push(node.left);
                        }
//                        3.3 如果这个结点的右子结点不为空,则把这个右子结点添加到队列中;
                        if(node.right != null){
                            strings.push(node.right);
                        }
//                        3.4 判断当前结点的左子结点和右子结点都不为空,如果是,则需要为当前结点创建一个值为down的左子结点,一个值为up的右子结点。
                        if(node.left == null && node.right == null){
                            node.left = new Node("down",null,null);
                            node.right = new Node("up",null,null);
                        }
                    }
                }
            }
            return  root;
        }

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