空间向量及其运算

平面内任意向量$\mathbf{p}$都可以用两个不共线的向量$\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$来表示，这是平面向量的基本定理。类似的我们定义，如果三个向量不共面，那么对空间中的任一向量$\mathbf{p}$，存在有序实数组$\{x,y,z\}$使得$\mathbf{p}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}+z\mathbf{c}$，我们把向量$\{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\}$叫做空间的一个基底（base）,$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$叫做基向量(base vector)，如果基向量两两垂直，则称这组基向量为正交向量；如果三个基向量两两垂直且为单位向量，则为单位正交向量。

一、空间直角坐标系

以起点同为$O$三个单位正交向量$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$所确定的三个轴依次叫做$x$轴（横轴），$y$轴（纵轴）和$z$轴（竖轴），我们把$Oxyz$或$[\mathbf{O};\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]$四者的组合称为直角坐标系。

由$x$和$y$轴确定的平面叫做$xOy$面，同理还有$xOz$和$yOz$，三个平面将空间划分为八个部分。如下图：

空间中任意一个向量都可以用坐标分解式表示。

向量$\mathbf{r}=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$，这就建立了有序实数组(坐标)$(x,y,z)$、空间中向量$\mathbf{r}$和空间中的点$M$的联系。这些事实使得向量之间的运算与代数建立起了联系（即用数学计算来解决向量之间的关系）。

二、向量的坐标运算

设$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$，$\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$，其对应坐标表示
$\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}\mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}$

2.1 向量线性运算

• 基底形式：
  $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x\pm b_x)\mathbf{i}+(a_y\pm b_y)\mathbf{j}+(a_z\pm b_z)\mathbf{k}$
  $\lambda \mathbf{a}=\lambda a_x\mathbf{i}+\lambda a_y\mathbf{j}+\lambda a_z\mathbf{k}$

• 坐标形式：
  $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z)$
  $\lambda \mathbf{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)$

2.2 向量间的数量积运算

数量积又称点积。设一物体在恒力$F$作用下沿直线从点$M_1$移动到$M_2$以$s$表示位移$M_1{M}_2$，物理学上告诉我们，力$F$作的功为：
$$W=|F||s|cos\theta$$
其中$\theta$是$F$与$s$的夹角。

抽象成数学表达：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|a||b|cos\theta$$

由定义可知：

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|a{|}^2$
• 向量$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$的充分必要条件是$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

满足以下性质：

• 交换律 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$=$\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
• 结合律 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$

PS：向量夹角范围是$[0,\pi ]$，所以不存在$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$和$\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$夹角不一样的情况，都是一样的$\theta$。优角是大于180度的角，劣角是小于或等于180度的角，因此向量夹角范围是劣角，在谈论向量夹角的时候，应该找小于或等于180度的角。

坐标形式的数量积
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z)\text{\hspace{1em}(1)}$$

2.3 向量积和混合积

• 向量积
  $$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_y{b}_z-a_z{b}_y，a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
• 混合积
  略。

2.4 向量属性

设向量坐标为：$\mathbf{r}=(x,y,z)$，对应向量形式为：$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$，

• 模(大小)
  $|\mathbf{r}|=x^2+y^2+z^2$
  设空间中的两点$A$，$B$，其坐标分别为设$\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\mathbf{b}=(x_1,y_2,z_3)$
  根据三角或平行四边形法则，$AB=OB-OA=(x_2-x_1，y_2-y_1,z_2-z_1)$，其大小为$|AB|=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2$

• 方向角和方向余弦
  一个非零向量与三个坐标轴的夹角称为向量在坐标系下的方向角，对应的余弦值为方向余弦。三个方向余弦的平方和等于1。换句话说，一个向量在坐标系上有唯一的比例关系：余弦
  

2.5 向量间的关系

• 平行
  当向量$\mathbf{a}\ne 0$，向量$\mathbf{a}\text{}\mathbf{b}$相当于$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$，坐标表示为：
  $$(b_x,b_y,b_z)=\lambda (a_x,a_y,a_z)\text{\hspace{1em}(3)}$$
  或者：
  $$\frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  如果向量$\mathbf{a}$的坐标有一个为零，那么将分式去掉并添加对应$\mathbf{b}$坐标等于零约束。

- 投影（非常重要）

给定一个点$O$和一个单位向量$\mathbf{e}$可以确定一个延伸至无穷远的数轴$\mathbf{u}$，在这个空间上任取一个向量记为$OM=\mathbf{r}$（平移至共起点)，过待投影的向量$\mathbf{r}$终点作一个垂直于数轴$u$的平面，相交于$M^{\prime }$（M在数轴$u$的点投影），向量$O{M}^{\prime }$叫做向量$\mathbf{r}$在$\mathbf{u}$轴上的分向量。

任何一个在数轴$u$上的向量都可以在用一个数$\lambda$和同方向的单位向量$e$表示，如下：
$$O{M}^{\prime }=\lambda \mathbf{e}$$
这个数在数学上被称为向量$\mathbf{r}$在$\mathbf{u}$上的向量投影，记作$Pr{j}_u\mathbf{r}$或$(\mathbf{r}{)}_u$。

按照投影的观点，直角坐标系上的一个向量$\mathbf{a}$在直角坐标系$Oxyz$上的坐标为（$a_x,b_x,c_x$）就是向量$\mathbf{a}$在三个坐标轴上的投影，也就是：
$$a_x=Pr{j}_x\mathbf{a}，a_y=Pr{j}_y\mathbf{a}，a_z=Pr{j}_z\mathbf{a}$$
或者你更习惯这种表示方式：
$$a_x=(\mathbf{a}{)}_x，a_y=(\mathbf{a}{)}_y，a_z=(\mathbf{a}{)}_z$$

投影有以下性质：

• 性质1 $(\mathbf{a}{)}_u=|a|cos\phi$，其中$\phi$是向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{u}$轴的夹角；
• 性质2 $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}_u=(\mathbf{a}{)}_u+(\mathbf{b}{)}_u$;
• 性质3 $(\lambda \mathbf{a}{)}_u=\lambda (a{)}_u$