【离散数学】图论

图

无向图

有序二元组，代表一个无向图G

• V是顶点的集合，元素为顶点；称为顶点集

• E是边的集合，元素为无向边；称为边集合

有向图

有序二元组，代表一个有向图G

• V是顶点的集合，元素为顶点；称为顶点集

• E是边的集合，元素为无向边；称为边集合

 

RUN

• 图：有向图+无向图，G代表有向图，D代表无向图
• 阶：定点数，有n个顶点称n阶图 

•  零图：只有点没有边，有n个点为n阶零图，记为Nn

 

•  空图：顶点集为空（什么也没有），记为 ∅

• 标定图：有符号标识的图

• 非标定图：无符号标识的图

• 基图：有向图原型（无向图）1.1为1.2的基图

端点

关联

• 无向图：ek = (Vi,Vj)则Vi、Vj为ek的端点（就是一条线两边的点），ek与Vi（Vj）关联

  if Vi != Vj ，则ek与Vi（Vj）的关联次数为1（就是一个点只碰了一次这个线）

  if vi = vj，则ek与vi（vj）的关联次数为2，并称ek为环（一个点碰了线2次）

 

• 有向图：ek = (vi,vj)则vi，vj为ek的端点，vi为始点，vj为终点，ek 与 vi（vj）关联

  if vi ≠ vj，则ek与vi（vj）的关联次数为1（就是一个点只碰了一次这条线）

  if vi = vj，则ek与vi（vj）的关联次数为2，并称ek为环（一个点碰了线2次）

 

• 相邻：vi 与 vj 有一条边连接，则两顶点相邻，两边至少有一个公共顶点则两边相邻 

• 孤立点：V3

一些集合 

无向图：G = , ∀v∈V

• 邻域：与v1相邻的点的集合（相邻见上） 

• 闭邻域：邻域 + v1（自己）的集合

• 关联集：与v相关联的边的集合（关联见上）

 有向图：D = , ∀v∈V

• 后继元集：从v2出发，到达的点的集合
• 先驱元集：到达v2的出发点的集合 

• 邻域：先驱元集+后继元集

• 闭邻域：

 

• 平行边：一对顶点的无向边多于1条，则为平行边（有向边：方向也需要相同

• 重数：平行边的条数 

• 多重图：含平行边的图

• 简单图：不含平行边，不含环的图（在有向图中，相同端点，方向不同的边，不算平行度 

 

• 无向图 G = , ∀v∈V

  度数：v关联的边的数量（环以v做两次端点）,即：dg(v)，v点勾搭的边数

  G的最大度：G中含有的最大度数

  G的最小度：G中含有的最小度数

• 有向图：D = , ∀v∈V

  出度：v为始点的次数（箭头出去的数量）

  入度：v为终点的次数（箭头进来的数量）

  度数：出度+入度

• 记牢符号

•  悬挂顶点：度数为1的顶点

• 悬挂边：与悬挂顶点关联的边

• 偶度（奇度）顶点：度为偶数(奇数)的顶点

• 握手定理

  无向图：所有顶点的度数之和等于边数的2倍；度数 = 边数*2=2m

  有向图：所有顶点的度数之和等于边数的2倍；入度之和 = 出度之和 = 边数

• 度数列：G=为一个n阶无向图，V{v1，v2，...，vn}，称d(v1)，d(v2)，...，d(vn)为G的度数列对于顶点标定的无向图,它的度数列是唯一的

• 可图化：度数列的和为偶数，即度数列可图化，反之则不可图化

•  简单可图化，在可图化的基础上，d(vn)max < n，则可实现简单图化

同构 

同构图：两个无向图（有向图），具备阶数相同，边数相同，度数列相同等条件。

 

完全图&竞赛图 

• 完全图：G为n阶简单图，图内每个顶点与其余顶点都相邻（每个点都有线相连）

  则G为n阶无向（有向）完全图

• 竞赛图：D为n阶有向简单图，若基图是无向完全图，则其为竞赛图

 母图&导出子图

• 类似于父集与子集的关系 
• 以产生原因分辨图为V1/E1的导出子图 

补图 

 

人话：

与G含有相同顶点，能够使G补成完全图的图，为G的补图

通路与回路 

•  通路：即一个点到另一个点，所走的路径

• vi0与vil即为通路的始点与终点

• 其中边的条数为通路的长度

• 若vi0 = vil，则为回路

• 若经过的边没有重复，则为简单通路（回路），反之则为复杂回路（通路）

• 若经过的顶点没有重复，则为初级通路/路径（初级回路/圈）

• 长度为奇数，称奇圈，为偶数，称偶圈

图的连通性

• 连通：无向图G = ，若两顶点之前存在通路，则称两点连通，即u~v, d(vi , vi)

• 连通图：即无向图G = 任何两个顶点都是连通的

  注意！！！

  与完全图存在区别，连通指的是能从这个点走到那个点就好，完全图则需要任意两个顶点都要有边

  完全图（n >= 1）都是连通图

  零图（n >= 2）都是非连通图

• 短程线（距离）：即两点间的最短通路

• 割集：在连通图中删去某些边，某些点，使连通图变得不连通

• 点割集：在原图中删去顶点的集合，使连通图变得不连通

• 割点：点割集中只有一个顶点v

• 边割集：在原图中删去边的集合，使连通图变得不连通

• 割边/桥：：点割集中只有一条边e

• 点连通度：最小删掉的顶点数

  无向完全图的点连通度为：n-1

  非连通图：0

  k-连通图：点连通度为k

• 边连通度：最小删掉的边数

• 无向完全图的边连通度为：n-1

• 非连通图：0

• r-边连通图：边连通度为r

• 点连通度 <= 边连通度 <= 最小度

•  有向图的连通性：∀vi ,  vi∈V，表示方法有所不同 d