数据结构-数型查找

二叉排序树（BST）

二叉排序树，又称二叉查找树（BST，Binary Search Tree）
一颗二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：
左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；
右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；
左子树和右子树又各是一颗二叉排序树

左子树结点值<根结点值<右子树结点值
进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列
二叉排序树的查找

BSTNode *BST_Search(BSTree T,int key){
	while(T!=NULL&&key!=T->key){	//若树空或等于根结点值，则结束循环
        if(key<T->key) T=T->lchild;	//小于，则在左子树上查找
        else T=T->rchild;		//大于，则在右子树上查找
    }
    return T;
}
//在二叉排序树中查找值为key的结点（递归实现）
BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){
	if(T==NULL)
        return NULL;//查找失败
    if(key==T->key)
        return T;//查找成功
    else if(key<T->key)
        return BSTSearch(T->lchild,key);//在左子树中找
    else
        return BSTSearch(T->rchild,key);//在右子树中找
}

二叉排序树的插入
若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字k小于根结点值，则插入到左子树，若关键字k大于根结点值，则插入到右子树

//在二叉排序树插入关键字为k的新结点（递归实现）
int BST_Insert(BSTree &T,int k){
	if(T==NULL){	//原树为空，新插入的结点为根结点
        T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
        T->key=k;
        T->lchild=T->rchild=NULL;
        retunr 1;	//返回1，插入成功
    }
    else if(k==T->key)	//树中存在相同关键字的结点，插入失败
        return 0;
    else if(k<T->key)	//插入到T的左子树
        return BST_Insert(T->lchild,k);
    else 				//插入到T的右子树
        return BST_Insert(T->rchild,k);
}

二叉排序树的删除
先搜索找到目标结点:
1、若被删除结点z是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。
2、若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，替代z的位置。
3、若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继（或直接前驱），这样就转换成了第一或第二种情况。
z的后继：z的右子树中最左下结点（该节点一定没有左子树）
z的前驱：z的左子树中最右下结点（该节点一定没有右子树）
查找效率分析
查找长度–在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度，反映了查找操作时间复杂度

平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree)，简称平衡树（AVL树）–树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
结点的平衡因子=左子树高-右子树高
平衡二叉树的插入
每次调整的对象都是“最小不平衡子树”
调制最小不平衡子树
LL在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡
RR在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡
LR在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡
RL在A的右孩子的左子树中插入导致不平衡
调整最小不平衡子树（LL）

1. LL平衡旋转（右单旋转）。由于在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点，将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。
   调整最小不平衡子树（RR）
   
   2）RR平衡旋转（左单旋转)。由于在结点A的右孩子®的右子树®上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树
   代码思路
   
   实现f向右下旋转，p向右上旋转：
   其中f是爹，p为左孩子，gf为f他爹
   1：f->lchild=p->rchild;
   2：p->rchild=f;
   3：gf->lchild/rchild=p;
   
   实现f向左下旋转，p向左上旋转：
   其中f是爹，p为右孩子，gf为f他爹
   1：f->rchild=p->lchild;
   2：p->lchild=f;
   3：gf->lchild/rchild=p;
   调整最小不平衡子树（LR）
   
   3)LR平衡旋转（先左后右双旋转）。由于在A的左孩子(L)的右子树®上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。先将A结点的左孩子B的右子树的根结点c向左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该c结点向右上旋转提升到A结点的位置
   
   调整最小不平衡子树（RL）
   
   4）RL平衡旋转（先右后左双旋转）。由于在A的右孩子(R）的左子树（L)上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡,需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置
   
   

查找效率分析
若树高为h，则最坏情况下，查找一个关键字最多需要对比h次，即查找操作的时间复杂度不可能超过O(h)

红黑树

为什么发明红黑树？
平衡二叉树AVL：插入\删除 很容易破坏“平衡”特性，需要频繁调整树的形态。如：插入操作导致不平衡，则需要先计算平衡因子，找到最小不平衡子数（时间开销大），再进行LL\RR\LR\RL调整
红黑树：插入\删除 很多时候不会破坏“红黑”特性，无需频繁调整树的形态。即使需要调整，一般都可以在常数级时间内完成

平衡二叉树：适用于以查为主、很少插入\删除的场景
红黑树：适用于频繁插入、删除的场景，实用性更强

红黑树的定义

红黑树是二叉排序树->左子树结点值<=根结点值<=右子树结点值
与普通BST相比：
1、每个结点或是红色，或是黑色的
2、根节点是黑色的
3、叶结点（外部结点、NULL结点、失败结点）均是黑色的
4、不存在两个相邻的红结点（即红结点的父节点和孩子结点均是黑色）
5、对每个结点，从该节点到任一叶结点的简单路径上，所含黑结点的数目相同

struct RBnode{		//红黑树的结点定义
	int key;		//关键字的值
    RBnode* parent;	//父节点指针
    RBnode* lChild;	//左孩子指针
    RBnode* rChild;	//右孩子指针
    int color;		//结点颜色，如：0/1 表示 黑/红
}

结点的“黑高”
从某结点出发（不含该结点）达到任一空叶结点的路径上黑结点总数

红黑树性质
1、从根节点到叶结点的最长路径不大于最短路径的2倍
2、有n个内部节点的红黑树高度h<=2log(n+1)
红黑树的查找

红黑树的插入

从一颗空的红黑树开始，插入：20，10，5，30，40，57，3，2，4，35，25，18，22，23，24，19，18
先查找，确定插入位置（原理同二叉排序树），插入新结点
新结点是根–染为黑色
新结点非根–染为红色

• 若插入新结点后依然满足红黑树定义，则插入结束
• 若插入新结点后不满足红黑树定义，需要调整，使其重新满足红黑树定义（看新结点叔叔的颜色）
  • 黑叔：旋转+染色
    • LL型：右单旋，父换爷+染色
    • RR型：左单旋，父换爷+染色
    • LR型：左、右双旋，儿换爷+染色
    • RL型：右、左双旋，儿换爷+染色
  • 红叔：染色+变新
    • 叔父爷染色，爷变为新结点