01背包，完全背包，多重背包，分组背包的使用条件以及代码模板

背包问题算是动态规划中的入门题目了，背包问题有很多种。背包九讲中讲的很清楚，我就不班门弄斧了，针对几种比较常见的背包问题，阐述一下它的使用前提和代码模板。
1.01背包问题

题目
有N 件物品和一个容量为V 的背包。第i ii件物品的费用是w[i] ，价值是v[i]，求将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这种基础的01背包问题，一般有两种代码书写规则，一种是二维数组，一种是一维数组。个人比较推荐一维数组，两种数组，代码书写并不一样。
一维数组代码如下：

#include
using namespace std;

const int maxx=1e3+100;
int dp[maxx];
int w[maxx];
int v[maxx];
int n,m;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);//m为总价值
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=w[i];j--)//这个是倒序
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
		}
	} 
	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
 } 

二维数组代码如下：

#include
#define ll long long
using namespace std;

const int maxx=1e3+100;
int w[maxx];
int v[maxx];
int dp[maxx][maxx];
int n,m;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)//这个是正序
		{
			if(w[i]<=j) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
			else dp[i][j]=dp[i-1][j];
		}
	}
	cout<<dp[n-1][m]<<endl;
	return 0;
}

2.完全背包问题

题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包和01背包的区别是，每一种物品都可以无限取。
代码如下：

#include
using namespace std;

const int maxx=1e3+100;
int dp[maxx];
int w[maxx];
int v[maxx];
int n,m;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);//m为总价值
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=w[i];j<=m;j++)//这个是正序，和01背包仅此不同而已
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
		}
	} 
	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
 } 

3.多重背包问题

题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有p[i]件可用，每件费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包，每一种物品不是无限制取，而是有一个限制。

代码如下：
这个代码是一个例题的代码，[蓝桥杯][算法提高VIP]贪吃的大嘴

#include
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int maxx=2e4+100;
struct node{
	int num;
	int val;
}p[maxx];
int dp[maxx];
int V,m;

int main()
{
	scanf("%d%d",&V,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&p[i].val,&p[i].num);
	memset(dp,inf,sizeof(dp));
	dp[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)//多重背包模板
	{
		int num=min(p[i].num,V/p[i].val);
		for(int k=1;num>0;k<<=1)
		{
			if(k>num) k=num;
			num-=k;
			for(int j=V;j>=p[i].val*k;j--)
			{
				dp[j]=min(dp[j],dp[j-p[i].val*k]+k);
			}
		}
	}
	if(dp[V]==inf) cout<<"><"<<endl;
	else cout<<dp[V]<<endl;
	return 0;
}

4.分组背包问题

问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是w[i]，价值是v[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

代码如下：

#include
using namespace std;

const int maxx=2e3+100;
int dp[maxx];
int v, n, t;
int we[maxx], c[maxx];
vector<int>ve[maxx];
 
int main() 
{
    int p;
     
    cin >> v >> n >> t;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d%d%d", &we[i], &c[i], &p);
        ve[p].push_back(i);
    }
    for(int i = 1; i <= t; i++)//注意三重循环的顺序，第一层遍历的是组数，第二层遍历的是价值（倒序），第三层遍历的是每一组的物品。
    {
        for(int j = v; j >= 0; j--)
        {
            for(int k = 0; k < ve[i].size(); k++)
            {
                int x = ve[i][k];
                if (j >= we[x]) dp[j] = max(dp[j], dp[j-we[x]]+c[x]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[v]);
    return 0;
}

有什么不对的地方请大佬指针，谢谢~。
努力加油a啊，(^o)/~