傅里叶级数公式及其收敛问题

abstract

• 傅里叶级数公式及其收敛问题
• 介绍周期为$2\pi$的情形下,函数的傅里叶级数公式
• 至于一般周期,可转化为$2\pi$周期进行讨论,并得出相应公式(另见它文)

函数展开成傅里叶系数

• 设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数,且能展开为三角级数式(6),即$f(x)$=$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
• 这就产生了一个重要问题,如何计算式(6)中的系数$a_n,b_n$,或说确定$a_n,b_n$关于$f(x)$的表达式
• 上述两个系数称为傅里叶系数

傅里叶系数

• 利用三角函数系的正交性质等式组,并结合积分计算,可以得出傅里叶级数展开公式的系数公式

  • $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$(7)
  • $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx,(n=0,1,2,...)$(8)
    • 式(7)可以并入式(8),因为当$n=0$时,式(8)恰好是式(7)
  • $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx,(n=1,2,3,...)$(9)

• 具体的推导过程如下

  • 首先求$a_0$的公式
  • 再求$a_n,b_n$的公式

求解$a_0$

• 假设上式右端级数可以逐项积分,则:

• $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=& {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\mathrm{d}x\\ =& a_0\pi +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_k\cos kx\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_k\sin kx\mathrm{d}x\right)\\ =& a_0\pi +\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\mathrm{d}x+b_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\mathrm{d}x\right)\\ =& a_0\pi \end{array}$$

  • 上述计算中用到正交性质:${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\mathrm{d}x=0$;${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\mathrm{d}x=0$

• 即得式$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$,即(7)

求解$a_n$

• 对式(6)两边同时乘以$\cos nx$

  • $f(x)\cos nx$=$\frac{a_0}{2}\cos nx+{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\cos kx\cos nx+b_k\sin kx\cos nx$

• 两边做区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分:

  • ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x$
    • =$\frac{a_0}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\mathrm{d}x$+${\sum }_{k=1}^{\infty }\left(a_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos kx\cos nx\mathrm{d}x+b_k{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin kx\cos nx\mathrm{d}x\right)$
    • =$0+a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos nx\mathrm{d}x+0$
    • =$a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nx\mathrm{d}x$=$a_n\pi$
  • 可得$a_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x$,$(n=1,2,\cdots )$,即式(8)

• 当$n=0$时,式(8)恰好为式(7)

求解$b_n$

• 类似于$a_n$的求解过程,对式(6)两边同时乘以$\sin nx$,得
  • $f(x)\sin nx$=$\frac{a_0}{2}\sin nx$+${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\cos kx\sin nx+b_k\sin kx\sin nx$
• 类似于$a_n$的求解过程,对式(6)两边同时乘以$\sin nx$,得
  • $f(x)\sin nx$=$\frac{a_0}{2}\sin nx$+${\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\cos kx\sin nx+b_k\sin kx\sin nx$
• 再对两侧求$-\pi$到$\pi$积分,得:
  • $b_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ $(n=1,2,\cdots )$,即式(9)

小结

• $$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)\mathrm{d}x,(n=\boxed{0},1,2,...)\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x,(n=1,2,3,...)\end{array}$$

• $a_0$,$a_n,b_n$,$n=1,2,\cdots$称为傅里叶系数

傅里叶级数

• 若傅里叶系数都存在,即式(8,9)中的积分均存在,将傅里叶系数带入到三角级数式(6):$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$(10)
• 该式称$f(x)$的傅里叶级数(Fuorier Series)

周期为$2\pi$的函数的fourier级数展开公式小结

• 一个定义在$(-\infty ,+\infty )$内周期为$2\pi$的函数,如果他在一个周期上可积分,那么就可以作出$f(x)$的傅里叶级数

• 该傅里叶级数的系数根据$f(x)$的奇偶性分为:

• 	$f(x)是奇函数$	$f(x)是偶函数$
  $a_n,n=0,1,2,...$	0	$\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x)\cos (nx)\mathrm{d}x$
  $b_n,n=1,2,3,...$	$\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x$	0
  Fourier Series of $f(x)$	$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (nx)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\cos (nx)$=$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (nx)$

• 当$f(x)$是奇函数时

  • $f(x)\cos nx$是奇函数,$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)\mathrm{d}x$=0

  • $f(x)\sin nx$是偶函数,$b_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x$=$\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x$

• 当$f(x)$是偶函数时:

  • $f(x)\cos nx$是偶函数,$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)\mathrm{d}x$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos (nx)\mathrm{d}x$
  • $f(x)\sin nx$是奇函数,$b_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)\mathrm{d}x$=0

• 需要注意的是,$f(x)$必须有对称的定义域才可以使用上述公式,而不能够仅仅判断$f(-x)=\pm f(x)$就认为$f(x)$是奇函数/偶函数

• 另外注意这里的积分限${\int }_0^{\pi }$不同于${\int }_{-\pi }^{\pi }$

三角级数收敛问题

• 如同讨论幂级数时一样,这里也要讨论三角级数(1)的收敛问题
• 以及给定周期为$2\pi$的周期函数,如何把它展开成三角级数(1)
• 一个定义在$(-\infty ,+\infty )$上周期为$2\pi$的函数$f(x)$
  • 若它在一个周期上可积,那么一定可以作出$f(x)$的傅里叶级数$F$
  • 然而$F$不一定收敛,且$F$即使收敛也不一定收敛于$f(x)$
• $f(x)$需要满足一定条件,它对应的傅里叶级数$F$才会收敛于$f(x)$
  • 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)给出这方面的结论

Dirichlet收敛定理

• 设$f(x)$是周期$2\pi$的周期函数,若它满足在一个周期内
  • 连续或只有有限个第一类间断点
  • 至多只有有限个极值点
• 那么$f(x)$的傅里叶级数$F$收敛
  • 当$x$是$f(x)$的连续点时,$F$收敛于$f(x)$(11)
  • 当$x$是$f(x)$的间断点时,$F$收敛于$\frac{1}{2}(f(x^{-})+f(x^{+}))$(12),即左极限和右极限的算术平均值
• Note:第一类间断点的左右极限都存在,事实上连续可以理解为左右极限都等于$f(x)$在$x$处的取值;因此用公式(12)计算连续情形得到的结果和公式(11)相同)
• 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多
  • 记$C=\{x\mid f(x)=\frac{1}{2}(f(x^{-})+f(x^{+}))\}$
  • 在$C$上成例$f(x)$的傅里叶级数展开式$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$,$x\in C$

例

• 设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数,它在$[-\pi ,\pi )$上的表达式为
  • $f(x)$=$-1$,$(x\in [-\pi ,0))$;
  • $f(x)=1$,$x\in [0,\pi )$
• 将$f(x)$展开为傅里叶级数$F$

解

• (1):敛散性

  • $f(x)$满足Dirichlet收敛定理条件,从而$F$会收敛
  • $F$在$k\pi$,$k\in \mathbb{Z}$处有跳跃间断点,分别有$-1\to 1;1\to -1$,$F$分别收敛于$\frac{-1+1}{2}=0$;$\frac{1+(-1)}{2}=0$,可见任何间断点都收敛于$0$
  • $F$在$x\ne k\pi$时,级数收敛于$f(x)$

• (2):傅里叶级数的系数

  • $a_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x$

    • 这里$f(x)$是分段函数,因此我们要分段积分:
    • $a_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^0(-1)\cos nx\mathrm{d}x$+$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }1\cdot \cos nx\mathrm{d}x$=$0$,$n\in \mathbb{Z}$

  • $b_n$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x$=$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^0(-1)\sin nx\mathrm{d}x$+$\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }1\cdot \sin nx\mathrm{d}x$

    • =$\frac{1}{\pi }(-\frac{1}{n}(-\cos nx){|}_{-\pi }^0+\frac{1}{n}(-\cos nx){|}_0^{\pi })$
      • =$\frac{1}{n\pi }(1-\cos n\pi -(\cos n\pi -1))$=$\frac{1}{n\pi }(2-2\cos n\pi )$=$\frac{2}{n\pi }(1-\cos n\pi )$
      • =$\frac{2}{n\pi }(1-(-1{)}^n)$
    • $b_n$=$\frac{4}{n\pi }$,$n=1,3,5,\cdots$
    • $b_n$=$0$,$n=2,4,\cdots$

  • 将系数$a_n$,$b_n$代入三角级数(6),得$f(x)$=$0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(0+b_n\sin nx)$=$\frac{4}{\pi }\sin x+0+\frac{4}{3\pi }\sin 3x+\cdots$=$\frac{4}{\pi }(\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\cdots )$=$\frac{4}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n-1}\sin (2n-1)$

    $-\infty <x<+\infty$,$x\notin \mathbb{Z}$

• 通过绘制$f(x)$的图形可以发现,该图形为矩形波,(周期$T=2\pi$,振幅$E=1$,自变量$x$表示时间),那么$f(x)$的傅里叶级数展开式表明,矩形波可由一系列不同频率的正弦波叠加而成,且这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍