[研究笔记]n个骰子得到点数和的概率分布
Abstract
求n个骰子得到点数和的概率分布的各种方法。
Body
起源是这个：
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发信人: dominic123 (dominic), 信区: ACM_ICPC
标 题: 【算法求助】n个骰子得到点数和的概率分布~
发信站: 北邮人论坛 (Thu Dec 2 22:23:23 2010), 站内
掷n个骰子得到点数和的概率分布？
例：掷2个骰子的时候，得到的点数和为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12；得到它们的概率分别是1/36,2/36,3/36,4/36,5/36,6/36,5/36,4/36,3/36,2/36,1/36。
问题是：当投掷n个骰子的时候得到点数和的概率分布是怎样的？请附推论过程。[ema23]
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然后我做了个小总结：
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发信人: jffifa (绮想), 信区: ACM_ICPC
标 题: Re: 【算法求助】n个骰子得到点数和的概率分布~
发信站: 北邮人论坛 (Fri Dec 3 22:46:37 2010), 站内
总结一下：
[记号]
记C(i,j)为i个元素中取j个做组合的组合数。
骰子取值1,2,3,4,5,6，记Ft(n,m)为n个这样的骰子生成和为m的方案数。
骰子取值0,1,2,3,4,5，记F(n,m)为n个这样的骰子生成和为m的方案数。
容易有F(n,m)=Ft(n,m+n)。对于Ft(n,m)，求解F(n,m-n)即可。
则F(n,m)等价为（组合模型为）：
a. n个离散RNG(Random Number Generator)，每个离散RNG生成范围为[0,6)的整数，生成和为m的生成方案个数。
b. m个无区别球放进n个有区别盒子，每个盒子球数在[0,6)间方案数。
c. 线性方程x[1]+x[2]+...+x[n]=m，x[i]∈[0,6)的整数解个数。
[解法]
1.生成函数法：
F(n,m)=
(1+x+x^2+...+x^5)^n中x^(m-n)的系数。
2.dp/离散域卷积法：
F(n,m)=sigma(k from 0 to 5) F(n-1,m-k)，边界值F(0,0)=1。
即u(i)=1 (i为整数且i∈[0,6))，n个u相卷。
3.组合数学法：
记G(p,q)为q个无区别球放进p个有区别盒子，无球数限制（[0,+inf)）的方案数。容易有G(p,q)=C(p+q-1,q)。为表示方便令G(p,q)=0 (q<0)。
考虑G(n,m)与F(n,m)第二个组合模型的联系。如果有一个盒子球数超过6，从该盒子中拿出6个球，则等价方案数为G(n,m-6)，有两个盒子超过6，则等价方案数为G(n,m-12)，……。
根据容斥原理，有：
F(n,m)=C(n,0)*G(n,m)-C(n,1)*G(n,m-6)+C(n,2)*G(n,m-12)-...
F(n,m)=sigma(i from 0 to [m/6]) (-1)^i * C(n,i) * G(n,m-i*6)（[]为下取整，由于m<0时G(n,m)=0所以只要加到[m/6]即可）
4.Ehrhart多项式法：
考虑F(n,m)的第三个组合模型，该方程表示一个n维线性空间中的n-1维HyperPlane。其整数解对应HyperPlane上所有整点。而加上 限制HyperRectangle:([0,6))^n后，整数解对应就是HyperPlane截HyperRectangle所得截面上所有整点。
易知F(n,m)所对应的HyperPlane与F(n,m+1)所对应的HyperPlane间没有整点，且F(n,m)截HyperRectangle与F(n,m+1)截HyperRectangle的体积易求（见watashi大牛文章 http://watashi.ws/blog/1538/rng-hyperplane-hyperrectangle/ ）。则两截面间体积为上述两个体积差。
同时，由Ehrhart多项式可以写出两截面间体积与整点数的关系。则可通过二者关系求出答案。
但是，具体过程我不会……
方法2对此题比较实用。借助FFT或数论转换可以降低算法复杂度。
[推广]
如果是n个骰子的平方和为m呢？立方和呢？
此时方法4还有一定价值（但Ehrhart多项式不能用），HyperPlane变为曲面了。
如果是连续变量还好做，但是离散的就真的很难。
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沒有白天也沒有黑夜。走不出上鎖的時間。今天或明天 瞬間無法永遠。剩下只能哭泣的眼。分不清是你還是偽裝的我。看不見窗外的天氣。就算到最後 沒有誰能逃離。我會等待著你。
<少女密室> 冬。
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连续变量的做法见http://biribiri.blogbus.com/logs/85754889.html
来自watashi大牛的那篇文章及2009国家集训队论文《信息学竞赛中概率问题求解初探 - 梅诗珂》。
Reference
http://biribiri.blogbus.com/logs/85754889.html
2009国家集训队论文《信息学竞赛中概率问题求解初探 - 梅诗珂》